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第5课 三角函数的图像和性质（一）

【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2?]，正切函数在(???,)上的性质； 222.了解函数y?Asin(?x??)的实际意义，能画出y?Asin(?x??)的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】

1. 已知简谐运动f(x)?2sin(?3?x??)(??

?2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期

6． T?_____6____；初相??__________

,k?Z} ?－x)=1的解集为_______________________． 32?3. 函数y?Asin(?x??)(??0,??,x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

2??

y??4sin(x?)

84． ______________________

2. 三角方程2sin(

4.下列函数图像：

y

1 ? ?

3 ? O ? ?6 2?1

①

y

1

?? ? ? O

2{xx?2k???第3题

y 1 ? x

? ?? ?3O 2?1 ? 6? x

②

y ? ? 3?1 ③

6x ?? 2?? 61 ? 3O ? x

?1 ④

其中是函数y?sin?2x???π??π?在区间上的简图的序号是__①__． ?，π???3??2?? ???5. 要得到函数y?sinx的图象，只需将函数y?cos?x??的图象向右平移__________个单位． ????【范例解析】

例1.已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx)．

（Ⅰ）用五点法画出函数在区间???,??上的图象，长度为一个周期；

??22??（Ⅱ）说明f(x)?2sinx(sinx?cosx)的图像可由y?sinx的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为Asin(?x??)形式．

解：（I）由f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2x?cos列表，取点，描图：

??cos2xsin)?1?2sin(2x?)．

444??x y ?3? 81 ??8 ? 81 3? 85? 81 1?2 1?2 故函数y?f(x)在区间[?

??,]上的图象是： 22??个单位，得到y?sin(x?)的图像，再把

44?1?y?sin(x?)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y?sin(2x?)的图像，

424?2?)图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）然后把y?sin(x的，得到4??y?2sin(x2?)y?2sin(2x?)的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像，再将

44?y?1?2sin(2x?)的图像．

41解法二：把y?sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y?sin2x的图像，再

2（Ⅱ）解法一：把y?sinx图像上所有点向右平移

???个单位，得到y?sin(2x?)的图像，然后把y?sin(2x?)的

448?图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y?2sin(2x?)的图像，再将

4??y?2sin(2x?)的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y?1?2sin(2x?)的图像．

44把y?sin2x图像上所有点向右平移

例2.已知正弦函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式f1(x)；

（2）求与f1(x)图像关于直线x?8对称的曲线的解析式f2(x)； （3）作出函数y?f1(x)?f2(x)的图像的简图． y

2

O －2 2

分析：识别图像，抓住关键点． 解：（1）由图知，A?2，将x?2，y?x=8 x 2???2?(6?2)?16，????8，即y?2sin(?8x??)．

????2代入，得2sin(??)?2，解得??，即f1(x)?2sin(x?)．

4484（2）设函数f2(x)图像上任一点为M(x,y)，与它关于直线x?8对称的对称点为M?(x?,y?)， ?x??x?8,?x??16?x,?????得?2解得?代入f1(x?)?2sin(x??)中，得f2(x)??2sin(x?)．

8484?y??y.??y?y.??????（3）y?f1(x)?f2(x)?2sin(x?)?2sin(x?)?2cosx，简图如图所示．

84848y

2 12 －4 O 4 x 点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求?和?，通常利用周期确定?，代入最