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2013年中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用

【基础知识回顾】

一、二次函数与一元二次方程：

二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式 决定

抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有 实数根 抛物线x轴有 个交点 ＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有 实数根 【名师提醒：若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】 二、二次函数解析式的确定：

1、设顶点式，即：设

当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式

2、设一般式，即：设

知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式

【名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点 等】 三、二次函数的应用

1、实际问题中解决最值问题： 步骤：1、分析数量关系 建立模型 2、设自变量 建立函数关系 3、确定自变量的取值范围

4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值 2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题 一般步骤：1、求一些特殊点的坐标

2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式

3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题

【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围 2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】 【重点考点例析】

考点一：二次函数的最值

例1 （2012?呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y?1上，2x点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（ ）

99 B．有最大值，最大值为 2299C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为?

22A．有最大值，最大值为?思路分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征

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求出其最值即可．

解：∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b）， ∴N点的坐标为（-a，b）， 又∵点M在反比例函数y?1的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上， 2x1??b?∴?2a， ??b??a?31??ab?整理得?2，

??a?b?3 故二次函数y=-abx2+（a+b）x为y=?12

x+3x， 2?3291?， ∴二次项系数为?＜0，故函数有最大值，最大值为y=

124?(?)22故选：B．

点评：本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值． 对应训练 1．（2012?兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）

A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定 1．A

解：∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值， ∴抛物线开口方向向上，即a＞0； 又最小值为1，即-b=1，∴b=-1， ∴a＞b． 故选A．

考点二：确定二次函数关系式

例2 （2012?珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

y （1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围． C B

O

A

思路分析：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3

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x 代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围． 解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得， （1-2）2+m=0， 1+m=0，

m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1． 当x=0时，y=4-1=3， 故C点坐标为（0，3），

由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3）， 令y=3，有（x-2）2-1=3， 解得x=4或x=0．

则B点坐标为（4，3）．

设一次函数解析式为y=kx+b， 将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，

?k?b?0 ， ??4k?b?3解得??k?1，则一次函数解析式为y=x-1； b??1?（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3）， ∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键． 对应训练 2．（2012?佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

2．分析：（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可； （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴； （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得

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