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江汉大学文理学院2007—2008学年第2学期

高 数（Ⅲ）期 末 测 试 卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）

（本大题各小题的四个选项中，只有一个是正确的。将正确选项的编号填在各小题相应的括号中。）

1．设I1??edx,I2??edx，I1与I2相比有关系式（ ）. A.I1>I2 C.I1=I2

x0120x120x2 B.I1

D.I1与I2不能比较大小

2. 设?etdt?e，则x=（ ）. A．e+1 C．ln (e+1)

B．e

D．ln (e-1)

bx3. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，?(x)??f(t)dt　　(a?x?b)，则??(x)?（ ）. A.f(x) C.0 4. 广义积分???1

1x2 B.f(b) D.-f(x)

dx（ ）.

A.收敛于1

C.敛散性不能确定 B.发散 D.收敛于2

5．曲线y2=x,y=x,y=3所围图形的面积是（ ）. A．?311?y2?ydy

?B．?313?x?x??y?y?2dx dy

C．??y2?y?dy

0D．?06．微分方程ylnxdx-xlnydy=0满足初始条件y(1)=1的特解是（ ）.

A.ln2x+ln2y=0 B.ln2x+ln2y=1 C.ln2x-ln2y=0 D.ln2x-ln2y=1 7．微分方程

dyxy?2是（ ）. dxx?y2A.非齐次方程 C.齐次方程 8．设函数f(x,y)=A.

x?y x?y

x?yx?y B.一阶非齐次方程 D.一阶线性方程

11,则f(,)=（ ）.

yxB.

x?y y?xC.

x?y x?yD.

y?x x?y9. 设函数z?e?x?y，则全微分dz(1,1)?（ ）. A.?dx?dy

B.dx?dy

C.dx?dy D.?dx?dy

10．设D是由直线x+y+1=0与坐标轴所围成的区域,则二重积分??4dxdy=

D（ ）. A.0 C.2

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.

B.1 D.4

?5?5dx? .

x?2x?142x3sin2x2．定积分(ex?e?x)dx?___________.

0?13．设函数f(x)=

1?lnx，求x?e1f(x)dx= .

?4．limx?00xcost2dtx? .

5．微分方程xdx+ydy=0的通解为_______________ .

6．微分方程(x2+y2)dx-xydy=0的通解为 . 7. 极限limx?0y?0sin(x2y2)x2y

? .

?2z8．已知函数z=x(x?0),则= .

?y?x?z= . ?x10. 设σ是矩形域：a≤x≤b,c≤y≤d，则??d?= . 9．设函数z=z(x,y)是由方程x+y+z=ez所确定的隐函数，则

?

三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）

1．求抛物线y2?4x与直线x=1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

2．求微分方程x

3．设函数z?分各是多少？

dy?y?ex?0满足初始条件y(1)=e的特解. dxy，则在点(1,2)处当Δx=-0.01, Δy=0.02时，函数的全增量和全微x4．计算二重积分I=

??ydxdy，其中D是顶点分别为(0,0)(1,1)(2,0)的三角形闭区域.

D四、证明题（8分）

?z?zy设z=x?()，其中?(u)为可导函数，证明x?y?z .

?x?yx

五、应用题（8分） ( 注：若用两种方法做，只要有一种方法做对者，给满分。)

欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？