内容发布更新时间 : 2024/11/16 12:01:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第3课时 证明与探索性问题

题型一 证明问题

x22

例1 (2017·全国Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的垂线，

2→→

垂足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；

→→

(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)， →→

NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)． 2→→

由NP＝2 NM得x0＝x，y0＝y.

2x2y2

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.

22因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2. (2)证明 由题意知F(－1,0)．

→

设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)， →→→PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn， →→

OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．

→→由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1. 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．

x2y26

跟踪训练1 已知椭圆T：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2

ab3＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN. (1)求椭圆T的方程； (2)求证：PM⊥PN.

c6

(1)解 由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，

a3又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1. x22

∴椭圆方程为＋y＝1.

3

(2)证明 方法一 ①当P点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.

②当P点横坐标不为±3时，设P(x0，y0)，

2则x20＋y0＝4，设kPM＝k，

PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，

??y－y0＝k?x－x0?，联立方程组?x2

2

??3＋y＝1，

2

消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x20－6kx0y0＋3y0－3＝0， 2依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x20－6kx0y0＋3y0－3)＝0， 22化简得(3－x20)k＋2x0y0k＋1－y0＝0，

又kPM，kPN为方程的两根，

2

1－y21－?4－x200?x0－3

所以kPM·kPN＝＝＝＝－1. 223－x23－x3－x000

所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.

方法二 ①当P点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN. ②当P点横坐标不为±3时，设P(2cos θ，2sin θ)， 切线方程为y－2sin θ＝k(x－2cos θ)，

??y－2sin θ＝k?x－2cos θ?，?x2

2

??3＋y＝1，

联立得(1＋3k2)x2＋12k(sin θ－kcos θ)x＋12(sin θ－kcos θ)2－3＝0， 令Δ＝0，

即Δ＝144k2(sin θ－kcos θ)2－4(1＋3k2)[12(sin θ－kcos θ)2－3]＝0， 化简得(3－4cos2θ)k2＋4sin 2θ·k＋1－4sin2θ＝0， ?4－4sin2θ?－3kPM·kPN＝＝＝－1. 22

3－4cosθ3－4cosθ所以PM⊥PN. 综上知PM⊥PN.

1－4sin2θ

题型二 探索性问题