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2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科）

一．（本题满分9分）

求函数y=2x2-2x+1的极小值 解略：x=时，y取最小值. 二．（本题满分9分）

化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ] 1212解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)

·(1+cos2θ+sin2θ)(1+cos2θ-sin2θ) =4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin2 2θ

三．（本题满9分）

甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

解:甲中含纯酒精乙中含纯酒精m1v1nv(公斤),含水11(公斤),m1?n1m1?n1m2v2nv(公斤),含水22(公斤)m2?n2m2?n2

甲乙共含纯酒精m1v1mvmv(m?n)?m2v2(m1?n1)?22?1122公斤m1?n1m2?n2(m1?n1)(m2?n2)甲乙共含水n1v1nvnv(m?n)?n2v2(m1?n1)?22?1122公斤m1?n1m2?n2(m1?n1)(m2?n2)混合后,纯酒精与水之比为[m1v1(m2?n2)?m2v2(m1?n1)]:[n1v1(m2?n2)?n2v2(m1?n1)]

四．（本题满分9分）

叙述并且证明勾股定理 解：略 五．（本题满分14分）

外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A

及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许

的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC⊥AB于C，设PC=d， 在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ

∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）

P A α β B C

当d≤D，即ctgα+ctgβ≥六．（本题满分14分）

S时，应向外国船发出警告 D美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足

100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.

取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61

利用ln(1+x)≈x,则有

x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%

答：每年约增长百分之四 七．（本题满分18分）

设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长

BFBC3?线相交于点B求证： AEAC3 C E F A B D

证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，

∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，

∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA BDBC2??. (1)ADAC2又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AE BD2BC?BF?? (2)2AC?AEADBC?BFBC4?AC?AEAC4BFBC3??AEAC3由（1）与（2）得