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（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

考点： 相似形综合题．3718684 分析： （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解； （2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得； （3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得． 解答： （1）解：∵=， ∴=． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴∴==， =， ∴==； （2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF， 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF， 在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=∴AF=OA． （3）证明：连接OE． ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点． 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

=OA， 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ∴点O是BD的中点． 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴∴==， =． 又∵FG⊥BC，CD⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==． 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF， 又∵CD=BC， ∴∴==， =． ∴CG=BG． 点评： 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键． 28、（2013?曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G． （1）求证：△DCF≌△ADG．

（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．

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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形． 分析： （1）根据正方形的性质求出AD=DC，∠ADC=90°，根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，从而得到∠AGD=∠CFD，再根据同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角边”证明△DCF和△ADG全等即可； （2）设正方形ABCD的边长为2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG的正弦，即为α的正弦． 解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF， ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ∵在△DCF和△ADG中， ， ∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）设正方形ABCD的边长为2a， ∵点E是AB的中点， ∴AE=32a=a， 在Rt△ADE中，DE=∴sin∠ADG===， ==a， ∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=． 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角相等的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握各图形的性质并确定出三角形全等的条件全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 是解题的关键． 29、（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 ．

考点： 作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．3718684 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可； （Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 解答： 解：（Ⅰ）△ABC的面积为：3433=6； （Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线， 与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F， 则四边形DEFG即为所求． 故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 点评： 此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键． 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载

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30、（2013?绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

考点： 四边形综合题． 分析： （1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC； （3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得． 解答： 证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF﹣CD=BC； 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载