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第二章 一元函数微分学

第1节 导数与微分

1 导数

a) 导数定义：增量比，取极限。 b)

c) d) e) f)

左导数和右导数存在且相等?导数存在

函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc 导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。 函数的相对变化率（弹性）：

g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。 h) 偶函数的导数是奇函数。

2 微分

微分定义：自变量 沿着切线方向的增量 。

3 求导法则

a) b) c) d)

导数微分表（4组16个）。 导数的四则运算。

反函数的导数：原函数导数的倒数。 复合函数求导法则。

e) 参数方程求导：

f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。

g) 对数求导法

i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln的真数，再运用隐函数求导法则。

ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln的真数，变成连加，再运用隐函数求导

法则。

4 高阶导数

a) 莱布尼茨公式：

b) 反函数的二阶导数： c) 参数方程的二阶导数：

第2节 微分中值定理

1 罗尔中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。

结论：在a和b之间必有一个值 使得f’( )=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。

2 拉格朗日中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。 结论：在a和b之间必有一个值 使得f’( )=

。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。 使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

3 柯西中值定理

条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0 结论：在a和b之间必有一个值 使得 。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。 证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。 使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

4 泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。 使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。

第3节 微分学的应用

1 单调性、极值

单调性：

f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。

极值：

极值点和导数为零的点没有充要条件关系。 可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理） 驻点（导数为0的点）不一定是极值点。 第一判定法：若在 的邻域内， 左右导数异号，则 是一个极值点。 第二判定法： 为驻点，且在 处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进

行判定。

2 最值（闭区间）

最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。

3 凹凸、拐点

凹凸：

视觉定位：俯视 凹函数：

≤

凸函数：

≥

凹函数：f’’(x)>0 凸函数：f’’(x)<0

拐点：可能出现在f’’(x)=0或f’’(x)不存在的点，但不一定是。

4 渐近线