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名校期末试题点拨——几何部分
题型一：全等三角形与轴对称
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全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL（直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种：
1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；
2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
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4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型
1.最值问题：“将军饮马”模型；
2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。 三、尺规作图
部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
典题精练
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，
∠1=95°，则∠2的度数为（ ）
A．24° B．25° C．30° D．35° C'
A2B'1EBCF 第一次操作第二次操作⑵长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为 ．
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【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，
则满足条件的点P有（ ）．
ABA．1个 B．3个 C．5个 D．6个
l
DC
⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P、A、B为格点上的点，A、B的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P点有 种不同的位置？
【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找
一点P，使BP+PE的值最小；
⑵ 如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，在AC上找一点P，使PB+PE的值最小；
⑶ 如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
⑷ 如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
AEBPD图1CABEPD图2COPACBAPB图4CD图3
【例4】 如图1，在△ABC中，?ACB?2?B，?BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l?AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M. ⑴当直线l经过点C时（如图2），证明：BN?CD； ⑵当M是BC的中点时，写出CE和CD之间的等量关 系，并加以证明；
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⑶请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
题型二：直角三角形与勾股定理
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一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch；
2224. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a?b?c；
5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比
为1：3：2）；
6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2．
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二、直角三角形的判定
1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形； 2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；
3. 勾股定理的逆定理：在以a、b、c为边的三角形中，若a2?b2?c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形；
4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
典题精练
【例5】 在给定的图形内作一条折线AB1C1D1E，使AB1⊥AB，B1C1⊥BC，C1D1⊥CD，
D1E⊥DE，且A，B，C，D，E，B1，C1，D1都是格点．
ABDEC【例6】 如图，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． CED DCAG图1BFA E图2B 思考验证： ⑴求证：DE=DF；
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