内容发布更新时间 : 2024/5/24 9:32:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法 （4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.limarctanx?xarctanx?x1?lim??（等价小量与洛必达） 3x??0ln(1?2x3)x??062x2.已知limsin6x?xf(x)6?f(x) ?0，求lim32x??0x??0xxsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy'?limx??0解：x??0 x33x2lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''?limx??0x??06x6

?216?3y''(0)??0?y''(0)?726?limlim6?f(x)y'y''72?lim?lim??36 （洛必达）

x??0x??02xx??02x222x2xx?1) （重要极限） 3.lim(x??1x?1ax?bxx) 4.已知a、b为正常数，求lim(x??02ax?bxx3),lnt?[ln(ax?bx)?ln2] 解：令t?(2x3333xx(alna?blnb)?ln(ab)x??0x??0ax?bx2（变量替换） ?t?(ab)3/2limlnt?lim1ln(1?x)5.lim(cosx) x??021ln(1?x),lnt?解：令t?(cosx)21ln(cosx) 2ln(1?x)limlnt?limx??0?tanx1???t?e?1/2（变量替换）

x??02x26.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?xx20f(t)dtxx??02??1

0f(t)dt（洛必达与微积分性质）

?ln(cosx)x?2,x?07.已知f(x)??在x=0连续，求a

?a,x?0解：令a?limln(cosx)/x??1/2 （连续性的概念）

x??02

三、补充习题（作业） 1.limex?1?x1?x?cosxx??0??3 （洛必达）

2.limctgx(x??011?) （洛必达或Taylor） sinxx23.lim

x?e?tdt0xx??01?e?x2?1 （洛必达与微积分性质）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.y?y(x)由??x?arctant决定，求dy

2t?2y?ty?e?5dx232.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求

dy|x?0?1 dx解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2B.曲线切法线问题

xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx

??/2?（e4.求对数螺线??e在（?，?）,?/2)处切线的直角坐标方程。

???x?ecos??/2,(x,y)|?(0,e),y'|???/2??1 解：????/2???y?esin?y?e?/2??x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。