内容发布更新时间 : 2024/11/18 1:27:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

幂函数

【教学目标】

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。 2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质。 3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

【教学重难点】

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质

【教学过程】

一、引入新知

阅读教材的具体函数，思考下列问题。 （1）它们的对应法则分别是什么？ （2）以上问题中的函数有什么共同特征？ 让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

上述的问题涉及到的函数，都是形如：y?x?，其中x是自变量，?是常数。 二、探究新知

1．幂函数的定义

一般地，形如y?x?（x?R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，?是常数。 如y?x,y?x,y?x等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等

213?14函数。

2．研究函数的图像

（1）y?x（2）y?x2 （3）y?x2 （4）y?x?1 （5）y?x3 提问：如何画出以上五个函数图像

1

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像。

y?x2 y?x 4y?x212y=x3 y=x-1 0 5-5 1015-2-4-6让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质。

-10-8通过观察图像，填P91探究中的表格 定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调增减性 定点

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1x?1）； （2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）。

特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），y?x2的图象都在y?x图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当∠α＜1时，x∈（0，1），y?x2的图象都在y?x的图象上方，形状向上凸，α越小，

y?x R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 y?x2 y?x3 y?x 12y?x?1 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 R 奇 在第Ⅰ象限单调递增 ?x|x?0? ?x|x?0? 非奇非偶 在第Ⅰ象限单调递增 奇 在第Ⅰ象限单调递减 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）

上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数。

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴。 三、例题：

1．证明幂函数f(x)?x在[0,??]上是增函数 证：任取x1,x2?[0,??),且x1＜x2则

f(x1)?f(x2)?x1?x2 =(x1?x2)(x1?x2)x1?x2

x1?x2 =

x1?x2因x1?x2＜0，x1?x2＞0

所以f(x1)?f(x2)，即f(x)?x在[0,??]上是增函数。 思考：

我们知道，若y?f(x)?0,若f(x1)?1得f(x1)?f(x2)，你能否用这种作比的方法来证明f(x2)f(x)?x在[0,??]上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）26,36 （2）(x?1)2,x21133??24（3）(x?0)(a?4),44

22分析：利用幂函数的单调性来比较大小。 四、课堂练习

1．画出y?x的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性。 五、归纳小结：

提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

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