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二次型的规范型唯一吗

篇一：二次型小结 第五章二次型(小结) 一、二次型与矩阵 1.基本概念

二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.

2.基本结论

(1)非退化线性替换把二次型变为二次型.

(2)二次型f(x1,x2,,xn)xax可经非退化的线性替换xcy化为二次型f(y1,y2,,yn)yaybcac.

(3)矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二、标准形 1.基本概念

二次型的标准形;配方法. 2.基本定理

(1)数域p上任意一个二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换xcy化

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222为标准形式d1y1.d2y2dnyn

(2)在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.

三、唯一性 1.基本概念

复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2.基本定理

(1)任一复二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换xcy化为唯一的规范22形式z1z2zr2,rf的秩. 因而有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等. (2)惯性定律:任一实二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化线性替换

唯一的规范形式xcy化为 22的秩,z12z2 pzp1zr,rf

p为f(x1,x2,,xn)的惯性指数.因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.

(4)实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.

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四、正定二次型 1.基本概念

正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型. 2.基本结论

(1)非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2)实二次型f(x1,x2,,xn)xax正定

①a与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵p,使得app; ②a的顺序主子式都大于零.

③f(x1,x2,,xn)的正惯性指数等于n. 篇二：二次型化为标准形的几种方法 二次型化为标准形的几种方法

摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

severalmethodsofchangingthequadraticintothestandard

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