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2019-2020年中考数学复习《探究抛物线中特定三角形的存在性问

题》解题方法

以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题，是中考的热点和难点．解决这类问题的关键是，弄清函数与几何图形之间的联系，在解题过程中将函数问题几何化，几何问题数量化，数形统一，同时要学会将大题分解为小题，各个击破，本文选取“抛物线中特定三角形的存在性”为例，说明这类问题的解题策略．

一、抛物线中等腰三角形的存在性

12

x＋bx＋4与x轴相交于A、4B两点，与y轴相交于点C，若已知A点坐标为A（－2，0）．

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2)求C点坐标，连结AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； (3)试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解 (1)易得抛物线解析式为 配方得，

1252y＝??x?3??，

44所以对称轴方程为x＝3；

13(2)在y??x2?x?4中，令x＝0，

42则y＝4，所以点C(0，4).

13令y＝0，则?x2?x?4?0

42解得x1＝8，x2＝－2， ∴A（－2，0），B(8，0).

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

把B(8，0)，C(0，4)的坐标分别代入解析式，解得直线BC的解析式为

1y??x?4；

2(3) △AOC∽△COB．

理由：在△AOC与△COB中 ∵OA＝2，OC＝4，OB＝8， OA21OC41∴??,?? OC42OB82例1（湖南湘西州中考题）如图1，已知抛物线y＝－

OAOC． ?OCOB又∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴△AOC∽△COB；

(4)因为抛物线的对称轴方程为x＝3，Q点在对称轴x＝3上，如图2．

∴

点评 本题点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q坐标时，还要充分注意图形的几何特点，利用数形结合思想．

二、抛物线中的直角三角形的存在性

例2 （广州市中考题）如图3，抛物线y＝－x2－

383x＋3与x轴交于A、B两点（点4A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求点A、B的坐标；

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

(3)若直线l过点E(4，0)，M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式．

解 (1)A（－4，0），B(2，0)（过程略）； (2)因为抛物线y＝－x2－

383x＋3的对称轴为x＝－1， 43x＋3． 4与y轴交点C的坐标为(0，3)，所以直线AC的解析式为y＝

且当x＝－1时，有y＝

9，所以直线AC与对称轴x＝－1的交点H的坐标为（－1，49）． 4 因为AB＝6，CO＝3，所以△ACB的面积为，S△ACE＝9．

不妨设点D的坐标为（－1，m），如图4，则△ACD的面积为S△ACD＝＝9．

当点D位于AC上方时，DH＝m－ 代入解得m＝

1×DH×AO29， 427； 4 当点D位于AC下方时，DH＝ 代入解得m＝－

9－m， 49．所以点D的坐标为 4927 （－1，），或（－1，－）

44(3)如图5，以AB为直径作⊙P，当且仅当直线l与⊙P相切时符合题意．因为Rt△PME

中，∠PME＝90°，PM＝3，PE＝5，

所以由勾股定理，可得ME＝4．

利用三角形相似可以求得点M的坐标M（设直线l的解析式为y=kx+b， 代入M（

412，） 55412，），E(4，0)，解得 55123?4??k?b??k??5，即?4 ?5???b?3?4k?b?03x＋3 4同理可得直线l的另一个解析式为

3y＝x－3．

4点评 此题借助于几何图形的知识考查函数的综合应用，这是初中阶段的重点，解答这类题型时要注意数形结合、综合分析思考，第3问具有较高的区分度，对学生的能力要求特别高，学生必须具有较强的观察能力、分析能力和综合运用知识的能力．

三、抛物线中相似三角形的存在

例3 （山东日照中考题）已知，如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（x1，0），

所以直线l的解析式为y＝－