内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:12:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二讲：导数与微分

导数：

对于函数y?f(x)： 如果极限lim?x?0f(x0??x)?f(x0)存在，则称f(x)在x?x0处可导，记其极限值为f?(x0)

?x注：?x有正负！！！

f(x0??x)?f(x0)存在，则称f(x)在x?x0处具有左导数，记为f??(x0)；

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)如果极限lim?存在，则称f(x)在x?x0处具有右导数，记为f??(x0)。

?x?0?x如果极限lim?

如果函数f(x)在一段连续区间D上的每个点都可导，则称f(x)在D上可导（对于闭区间端点，只要对应的单侧导数存在即可）

由可导的定义可以退出：可导必定连续！！！ 例：

1、讨论函数f(x)?|x(x?1)||ln(1?x)|在其定义域上的可导性 2、设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?

f(1?cosh)(A)lim存在 2h?0h(C)limh?0

f(1?eh)(B) lim存在

h?0h(D)limh?0f(h?sinh)存在

h23nn??

f(2h)?f(h)存在

h3、设函数f(x)?limn1?x,则f(x)在(??,??)内

(B)恰有一个不可导点 (D)至少有三个不可导点

(A)处处可导 (C)恰有两个不可导点

?sin2x?x?2x?0??ax?0，试确定a、b、c的值，使该函数在x?0处可导 4、设f(x)???bx?cx?0???5、若f?(a)存在，则limx?axf(a)?af(x)? 。

x?a?6、（思考）设函数f(x)在R上有界且可导,则

(A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0

x???x???

(B)当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0

x???x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0

x?0?x?0?(D) 当limf?(x)存在时,必有limf?(x)?0.

x?0?x?0?

小结论：

奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数； 周期函数的导函数依然是周期函数

微分：

对于函数y?f(x)：

如果存在一个只与x0有关而与?x无关的数g(x0)，使得当?x?0时，有：

?y?g(x0)?x?o(?x)

则称f(x)在x?x0处可微，称g(x0)为f(x)在x?x0处的微分，记为：

dy?g(x0)dx

定理：（导数与微分的关系）

若f(x)在x?x0处可微，则：dy?f?(x0)dx，

dy?f?(x0) dx由该定理可知：可微 ? 可导

故微分运算也常记为：

例：设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则

(A)0?dx??y (C)?y?dy?0

(B)0??y?dy (D)dy??y?0

基本求导公式：

函数的和、差、积、商的求导法则：

设u?u(x)，v?v(x)都可导，则

??? （1） (u?v)?u?v ??? （3） (uv)?uv?uv

例：求导y??? （2） (Cu)?Cu（C是常数）

??u?u?v?uv????2vv?? （4）

1[xx2?a2?a2ln(x?x2?a2)] 2

反函数求导法则

若函数y?f(x)在某区间内可导、单调且f?(x)?0，则它的本义反函数x?f对应区间内也可导，且

?1(y)在

[f?1(y)]??1dx1 或 ?f?(x)dydydx

复合求导公式（链式法则）：

设y?f(u)，而u??(x)且f(u)及?(x)都可导，则复合函数y?f[?(x)]的导数为

dydydu?dxdudx (f[?(x)])??f?[?(x)]??(x)或

由该定理可以推出定理：一阶微分具有形式不变性

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

2?(tanx)?secx (5)

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

2?(cotx)??cscx (6)

? (7) (secx)?secxtanx

x??axlna(a) (9)

? (8) (cscx)??cscxcotx

x??ex(e) (10)

(11)

(logax)??1xlna

(lnx)?? (12)

1x，

(arcsinx)?? (13)

11?x2

(14)

(arccosx)???11?x2