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2015年6月微积分2期末复习提纲

1、 本学期期末考试考察的知识点如下:

第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接

展开以

1,ex,ln(1?x)为主）约占35%; 1?x第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D：x2?y2?4y，则

??d??4?。(表示求解积分区域D的面积——圆)

D? 或D：1?x2?y2?9，则

??dxdy?8?。(表示求解积分区域D的面积——圆环)

D? 或D:x?y?4y，将

22??ydxdy化为极坐标系下的累次积分?D?0d??4sin?0 r2sin?dr．

(判断θ的范围作为上下限，判断r的范围作为上下限，y用rsinθ代入)

7.3极坐标系下二重积分的计算

2、交换积分次序

?10dy?f(x,y)dx?y1?10dx?f(x,y)dy。

0x（依题得：?? 或

1x?0?x?1?0?y?1推出0?y?x?1，再得?，最后得：?dx?f(x,y)dy）

00?0?y?x?y?x?1?dx?011?x0f(x,y)dy??dy?0111?yf(x,y)dx。

（依题得：?11?0?x?1?0?y?1推出?，得：?dy?f(x,y)dx）

01?y?0?y?1?x?0?x?1?y??? 或

?60dy?6y1cosxdx?。

2x?60x???0?y???0?x????6（依题得：?推出0?y?x?，再得?最后得：6，

6?y?x????0?y?x?6???dx?0cosxdy） x?60dx?x0???cosxcosx1666?dy??dx??cosxdx?sinx0

00xx02x

2x?yd?????D3x?yd?????D? 比较二重积分大小：与，其中D是由直线

x=0,y=0,x+y=1所围成的区域。

（由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的区域满足x?y?1，??x?y???x?y?）

23????x?y?d??D23x?yd?P209课后两题 ????D7.1交换积分次序&二重积分比较大小

?1n13、若级数?un的前n项和sn?，则un?，?un=1?。

n?1n?1n(n?1)n?1n?1?nn?1n2?(n2?1)1解：un?sn?sn?1? ???n?1nn(n?1)n(n?1)?11?1?1un?????? ???1?n?1?n?1n?1n?1n(n?1)n?1?n??1nx的收敛域为??2,2?。 4、级数?nn?1n?21n?1nn?1?2??ann?2?lim?lim?2 解：R?limnn??an??n??1n?2n?1?n?1??2n?1?1n?1nn1x??2??1???? 当x=-2时，?n是交错级数，条件收敛 ??nnn?1n?2n?1n?2n?1??1n?1n?1x??2??是调和级数， 当x=2时，?发散，得收敛域为??2,2? nnnn?2n?2n?1n?1n?1??

或级数

1xn的收敛域为??2,2?。 ?n2n?12?n1n2?2n1?a解：R?limn?limn??an??n?1?n?1??limn???2n?1?2 2nn?22?n?1?2?2n?1??11nn1nx??2??1???? 当x=-2时，?2n是交错级数，绝对收敛 ??2nn2n?1n?2n?1n?2n?1?

??111nn当x=2时，?2nx??2n2??2是P>1的P级数，收敛，得收敛域为??2,2?

n?1n?2n?1n?2n?1n?

8.4幂级数收敛半径&收敛域的计算

5、级数?(un?1)收敛，则limun? 1 。

n?1??n??lim?un?1??0，解：已知级数?(un?1)收敛，根据级数收敛的必要条件，可得：得limun?1

n?1n??n????1?2?2n?(?1)n?? 7/4 。 6、级数??? 2 。或?? 。或级数?n33n!??n?1n?1n?1?n221?nnnn????2?3?2,2?(?1)??2?(?1)?3?3?2?1?7????nnn解：??3? 221?443?n?1??n?1n?13n?131?1?1????33?3??n8.1常数项级数

7、方程y?cotx?y2?4满足条件y(0)?2的特解是 。 8、方程y??ytanx?secx满足条件y(0)?0的特解是 。

9.2一阶微分方程

9、方程y???6y??9y?xe的一个特解形式为y?? 。 10、若微分方程y???6y??ay?0的通解为y?C1e2x?C2e4x，则a? 。 11、微分方程y???12y??35y?0的通解为 。 12、微分方程y???4y??3y?0的通解为 。

13、方程y???2y??y?(x?1)e的一个特解形式为y?? 。 14、若通解为(C1?C2x)e的微分方程为 。

2x?x3x9.3二阶常系数线性微分方程

二、计算下列二重积分（5小题） 1、求I?22322D?(x,y)x?y?4?d?r，其中。(x?y)dxdy????dr ??2?2D002、求I?(4?x?y)dxdy，其中D:x2?y2?2y。???D??0d??2sin?0?4?rcos??rsin??rdr