内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:14:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
11.导数的综合应用(含答案)(高二)
1.(15北京理科)已知函数f?x??ln
1?x. 1?x(Ⅰ)求曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程; ?x3?1?时,f?x??2?x??; (Ⅱ)求证:当x??0,3???x3?1?恒成立,求k的最大值. (Ⅲ)设实数k使得f?x??k?x??对x??0,3??【答案】(Ⅰ)2x?试题解析:(Ⅰ)
(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)k的最大值为2. y?0,
f(x)?ln1?x2,x?(?1,1),f?(x)?,f?(0)?2,f(0)?0,曲线21?x1?xy?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程为2x?y?0;
3x?x3?1?时,f?x??2?x??,即不等式f(x)?2(x?)?0,对(Ⅱ)当x??0,33???x?(0,1)成立,设
1?xx3x3F(x)?ln?2(x?)?ln(1?x)?ln(1?x)?2(x?),则
1?x332x41?时,F?F?(x)?,当x??0,(x)?0,故F(x)在(0,1)上为增函数,则
1?x2F(x)?F(0)?0,因此对?x?(0,1),
f(x)?2(x?x33)成立;
?x3?1?,等价于(Ⅲ)使f?x??k?x??成立,x??0,3??1?xx31?; F(x)?ln?k(x?)?0,x??0,1?x32kx4?2?k2F?(x)??k(1?x)?,
1?x21?x2当k?[0,2]时,F?(x)?0,函数在(0,1)上位增函数,F(x)?F(0)?0,符合题意;
(x)?0,x0当k?2时,令F?4?k?2?(0,1), kx0 0 极小值 x (0,x0) - (x0,1) + F?(x) F(x) ] Z F(x)?F(0),显然不成立,
综上所述可知:k的最大值为2.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.
2.(15年安徽理科)设函数f(x)?x?ax?b.
2(1)讨论函数f(sinx)在(-2??,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
22(2)记f0(x)?x?a0x?b0,求函数f(sinx)?f0(sinx)在(-(3)在(2)中,取a0?b0?0,求z?b?【答案】(Ⅰ)极小值为;(Ⅱ);(Ⅲ)1. 试题解析:(Ⅰ),. ,.
考点:1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用.
??,)上的最大值D;
22a2 满足D?1时的最大值。43.(15年福建理科)已知函数,
(Ⅰ)证明:当;
(Ⅱ)证明:当时,存在,使得对
(Ⅲ)确定k的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ). 【解析】
试题分析:(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可;(Ⅱ)构造函数即,求导得 ,利用导数研究函数的形状和最值,证明当时,存在,使得即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当时,对于故,则不等式变形为,构造函数,只需说明,易发现函数在递增,而,故不存在;当时,由(Ⅱ)知,存在,使得对任意的任意的恒有,此时不等式变形为, 构造,易发现函数在递增,而,不满足题意;当时,代入证明即可. 试题解析:解法一:(1)令则有 当,所以在上单调递减; 故当时,即当时,. (2)令则有
当,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意. 当时,令得.
取对任意恒有,所以在上单调递增,,即 .
综上,当时,总存在,使得对任意的恒有. (3)当时,由(1)知,对于故, , 令, 则有 故当时,, 在上单调递增,故,
即,所以满足题意的t不存在.
当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有. 此时, 令, 则有 故当时,, 在上单调递增,故, 即,记与中较小的为, 则当,故满足题意的t不存在.