内容发布更新时间 : 2024/5/1 20:28:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

11.导数的综合应用（含答案）（高二）

1.（15北京理科）已知函数f?x??ln

1?x． 1?x（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程； ?x3?1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，3??【答案】（Ⅰ）2x?试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2. y?0，

f(x)?ln1?x2,x?(?1,1),f?(x)?,f?(0)?2,f(0)?0，曲线21?x1?xy?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程为2x?y?0；

3x?x3?1?时，f?x??2?x??，即不等式f(x)?2(x?)?0，对（Ⅱ）当x??0，33???x?(0,1)成立，设

1?xx3x3F(x)?ln?2(x?)?ln(1?x)?ln(1?x)?2(x?)，则

1?x332x41?时，F?F?(x)?，当x??0，(x)?0，故F(x)在（0，1）上为增函数，则

1?x2F(x)?F(0)?0，因此对?x?(0,1)，

f(x)?2(x?x33)成立；

?x3?1?，等价于（Ⅲ）使f?x??k?x??成立，x??0，3??1?xx31?； F(x)?ln?k(x?)?0，x??0，1?x32kx4?2?k2F?(x)??k(1?x)?，

1?x21?x2当k?[0,2]时，F?(x)?0，函数在（0，1）上位增函数，F(x)?F(0)?0，符合题意；

(x)?0,x0当k?2时，令F?4?k?2?(0,1)， kx0 0 极小值 x (0,x0) - (x0,1) + F?(x) F(x) ] Z F(x)?F(0)，显然不成立，

综上所述可知：k的最大值为2.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.

2．（15年安徽理科）设函数f(x)?x?ax?b.

2（1）讨论函数f(sinx)在(-2??,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

22（2）记f0(x)?x?a0x?b0,求函数f(sinx)?f0(sinx)在(-（3）在（2）中，取a0?b0?0,求z?b?【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）；（Ⅲ）1. 试题解析：（Ⅰ），. ，.

考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.

??,)上的最大值D；

22a2 满足D?1时的最大值。43.（15年福建理科）已知函数，

(Ⅰ)证明：当；

(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对

(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有． 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)． 【解析】

试题分析：(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数即，求导得 ，利用导数研究函数的形状和最值，证明当时，存在，使得即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对于故，则不等式变形为，构造函数，只需说明，易发现函数在递增，而，故不存在；当时，由(Ⅱ)知，存在,使得对任意的任意的恒有，此时不等式变形为， 构造，易发现函数在递增，而，不满足题意；当时，代入证明即可． 试题解析：解法一：(1)令则有 当,所以在上单调递减； 故当时，即当时，． (2)令则有

当,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意. 当时，令得．

取对任意恒有,所以在上单调递增,,即 .

综上，当时，总存在,使得对任意的恒有． (3)当时，由（1）知，对于故， ， 令， 则有 故当时，, 在上单调递增，故,

即,所以满足题意的t不存在.

当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有． 此时, 令， 则有 故当时，, 在上单调递增，故, 即,记与中较小的为， 则当，故满足题意的t不存在.