内容发布更新时间 : 2024/12/26 10:14:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

______________________________________________________________________________________________________________

复数的三角形式

1、复数的三角形式

(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量半轴为始边，向量

，以x轴的正

所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做

复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．

说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．

(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中

．

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角． 2、复数的三角形式的运算：

设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

精品资料

______________________________________________________________________________________________________________

3、应用

例1求下列复数的模和辐角主值 （1）1?i （2）解：（1）

又（2）有

1?i?12?12?23?i

tan??b???arg（1?i）?a=1，点（1,1）在第一象限。所以4223?i?（3）?（?1）?2

3，?1tan???13，点（

?）在第四象限，所以

11?66

想一想：怎样求复数z?3?4i的辐角?

??arg（3?i）?2???想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？

? （?30?）?isin（?30?）（1）isin??cos? （2）2?cos（3）

5（cos5???isin）66

例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）2i； （3）

22r?（?1）?0解：（1）

3?i

（?1）??，所以 =1，辐角主值为?=arg

-1=cos??isin?

精品资料

______________________________________________________________________________________________________________

22r?0?2?2 辐角主值为?=（2）

arg?2i???2，所以

2i=

2（cos??isin）22

?22r?（3）?（?1）?2，由（3）

tan???13??33（和点3，?1）在第

四象限，得

??arg（3?i）?2???6?11?6，

所以

3?i=

2（cos11?11??isin）66

总结：复数的代数形式z?a?bi化为复数的三角形式一般方

法步骤是：

22①求复数的模：r?a?b；②由

tan??b（a,b）a及点所在象限求出

复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

例3．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1) ∵ π<θ<2π ∴

<<π, ∴cos<0

精品资料