内容发布更新时间 : 2024/9/22 6:50:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

29.3 切线的性质和判定

1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)； 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)； 3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

二、合作探究

探究点一：切线的性质

【类型一】 切线的性质的运用 如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P

是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )

A．20° B．35° C．55° D．70°

解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.

方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．

【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、

AC.

(1)求证：△ACB≌△APO；

(2)若AP＝3，求⊙O的半径．

(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO

1

中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；

(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝3，∴AO＝1，即⊙O的半径为1.

方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．

【类型三】 探究圆的切线的条件

︵

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC上的一个动点，过点P作BC的平

行线交AB的延长线于点D.

(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．

︵︵︵

解析：(1)当点P是BC的中点时，得PBA＝PCA，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长．

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解：(1)当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴AB＝AC，又∵PB＝PC，∴︵︵︵︵

PBA＝PCA，∴PA是⊙O的直径．∵PB＝PC，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．

1

(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE＝BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝

225

AB2－BE2＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝.

425

在Rt△ABP中，AP＝2r＝，AB＝10，∴BP＝2

2515（）2－102＝. 22

方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条

件，得出结论．

探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O

的切线．

证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【类型二】 切线的性质与判定的综合应用

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如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且AF＝FC＝CB，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF

交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝23，求⊙O的半径．

分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代︵︵︵

换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由AF＝FC＝CB推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．

︵︵

(1)证明：连接OC，BC.∵FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；

︵︵︵

(2)解：∵AF＝FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝23，∴AC＝43.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝43，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.

方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．

三、板书设计 1．切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.

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