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2010/2011学年第一学期末考试试卷（A卷）参考答案与评分规范

数值分析

使用班级：10研

一、填空题(第1小题每空2分，其余每空3分，共30分)

1. 已知一元二次方程x2?16x?1?0的两个根为x1?8?63，x2?8?63，若取63?7.94进行计算，则得到的x1有4位有效数字，x2有1位有效数字，若改用公式x2?则得到的x2有3位有效数字；

1计算x2，x1?1?2. 设A??3??2?1???51?，则A?=9； ?23??3. 设x0?0,x1?1,x2?2，且f(0)?0f,?1(?1)i0,1,是对应的f16,?(2li)?x????2Lagrange插值基函数，则l0(x)?l1?x??l2?x??1，l1?x??2l2?x??x，又设p2(x)是 利用Lagrange方法得到的f(x)的二次插值基函数，则用p2(x)代替f?x?进行计算的误差为

f(3)???3!x?x?1??x?2?；

4. 用Simpson公式计算近似定积分

??1?2x?3x012?4x3?dx?0；

xk?cosxk,k?0,1,1?sinxk；

5. 用Newton法求解方程x?cosx的迭代公式为xk?1?xk?6. 求解初值问题y?(t)?f(t,y),y(t0)?y0的改进Euler法的公式为

h?y?y??k1?k2?n?n?12?，它是2阶方法。 ?k1?f?tn,yn??k?f?t?h,y?hk?nn1?2?二、解答下列各题(每小题12分，共24分)

?2?61. 用LU分解法求解线性方程组??2??2解：

37?1?101311??x1???5????5??x2???11?3??x3??7????8??x4???2???； ???1 / 5

?2 3 0 1 -5????3 -2 1 2 4???LU分解??????1 2 1 -2 4? ???1 2 -1 1 -1?????1 -2 2 -1 0????1 0 0 0?? 2 3 0 1???5?? 1?????????3 1 0 0 0 -2 1 24?,U???,y???,x??-2? L???1 2 1 0?? 0 0 1 -2??4?? 2?????????1 2 -1 1 0 0 0 1?1???????-1? ................................................................... LU矩阵(或对应元素每算对两个给1分) 2. 给定数据表 x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 ?2?6?A|b????2??237?1?101311538?5?117?2求形如y?a?bx的拟合函数及误差平方和，并估计变量y在x?21处的值。

2?1??1?a?解：令c???，A??1??b??1?1?????， .............................................................................................. 3分 ????对应的正规方程组ATAc?ATy为

5327??a??271.4??5?? ............................................................................................. 7分 ?????53277277699b369321.5??????解此方程得

?a??0.97257866?????? 9分 b0.05003512????即最终的拟合函数 误差平方和为

36162596114441936y?0.97257866?0.05003512x2 ........................................................... 10分

????y?xk??yk??0.1502 ............................................................ 11分

2k?042y(21)?0.97257866?0.05003512?212?23.0380683 .............................................................. 12分

三(本题12分)

585f?0.6?f0?f0.6的代数精度是多少？ ????199911（2）利用上述公式计算定积分?（在计算中可取dx，并与真值进行比较；

?13?x0.6?0.774596 7）

（3）将区间[?1,1]等分成两个小区间，对每个小区间分别利用（1）中的Gauss求积公式进行

（1）Gauss求积公式

1f(x)dx?????2 / 5

1??13?xdx的近似值与（2）进行比较。

解：(1) 经验证，当取f(x)?xk?k?0,1,2,,5?，都有

计算，并将最后得到的

1585f?0.6?f0?f0.6?0， ????199966125865626而?xdx?，?0.6?0?0.6??

?179992571585所以，Gauss求积公式?f(x)dx?f?0.6?f?0??f?19991f(x)dx???????????? 0.6的代数精度为5。

? ....................................................................................................................................................... 4分

1518151dx????????13?x93?0.69393?0.6?0.69312170，与真实值

11??13?xdx?ln2?0.6931472比较可知，近似计算结果有4位有效数字。 .......... 8分 110111(3) ?dx??dx??dx

?13?x03?x?13?x1111??dx??dx ?17?x?15?x518151518151???????????? 97?0.69797?0.695?0.69595?0.6?0.6931465

11与真实值?近似计算结果有5位有效数字。比(2)的结果更为精确些。dx?ln2比较可知，

?13?x(2)

1 ..................................................................................................................................................... 12分 四、(每小题10分，共20分)

?5x1?2x2?x3??12?1．设有线性方程组??x1?4x2?2x3?20，

?2x?3x?10x?323?1写出用Gauss-Seidel迭代法求解该线性方程组的迭代公式(不要求计算)，然后给出相应的迭

代矩阵，并判断用Gauss-Seidel迭代法求解本方程组是否收敛？ 解：Gauss-Seidel迭代法求解该线性方程组的迭代公式为

(k)(k)?x1(k?1)??0.4x2?0.2x3?2.4?(k?1)(k?1)(k)?x2?0.25x1?0.5x3?5,k?0,1,2,?x(k?1)??0.2x(k?1)?0.3x(k?1)?0.312?3 ................................................................. 5分

其中，x(0)任意选取。 迭代矩阵GGS?0 -0.40 -0.200?????0 -0.10 -0.550? ............................................................................................ 8分 ?0 0.05 -0.125???3 / 5

由于该方程组的系数矩阵是主对角线按行绝对占优矩阵，所以，用Gauss-Seidel迭代法求解该线性方程组收敛。 ...................................................................................................................... 10分 2．写出用Newton迭代法求解非线性方程组??x?sin(x?y)?1.2的步骤，并取初值

y?cos(x?y)?0.5?(x0,y0)?(1.433,1.472)计算近似解(x1,y1)(只进行一次迭代)。

?x?sin(x?y)?1.2?? ..................................................................................... 1分

?y?cos(x?y)?0.5??1?cos(x?y)?cos(x?y)??F?x,y???? ........................................................................... 3分

?sin(x?y)1?sin(x?y)??(0)???x(0)(0)方程 F??x,y???0????F?x(0),y(0)?为

??y???解：F?x,y???(0)?1.9721 0.9721???x??0.0014???????? ...................................................................................... 6分 0?????-0.2344 0.7656???y??0.0001???x(0)??0.5335??3其解为 ..................................................................................... 9分 ??10??????y?0???0.3492????x(1)??x(0)???x(0)??1.4335335?所以 ........................................................... 10分 ?(0)????0??????y(1)????y???y?1.4723492??????????12?

?，用幂法求A的按模最大的特征值及对应的一个特征向量。取初13???0.6?始特征向量为x(0)??要求使用?-范数进行计算，写出详细计算过程。 ?进行1次迭代计算。

?0.8??0.6?u01?0.6??0.75?(0)解：取u(0)??，则y??????? .................................................. 3分 ?0.81.000.8u0.8??????0?五、(本题8分)设A=?

?2.75?u(1)?Ay(0)???，?1?3.75， ......................................................................................... 6分

?3.75?u(1)1?2.75??0.7333?(1)y?(1)?????? ................................................................................. 7分

3.75?3.75??1.0000?u?所以，可用?1?3.75作为矩阵A的近似特征值，对应的特征向量可取为y(1)?0.7333????。 1.0000?? ........................................................................................................................................................ 8分

六、(本题6分) 为使以下求解常微分方程初值问题

??y??f?t,y?,t0?t?T ?yt?y???0?0的线性多步法

4 / 5

?0yn??1yn?1?yn?2?h?2f(tn?2,yn?2)?n?0,1,?

达到尽可能高的收敛阶数，?0,?1,?2取值应为多少，并指出该公式达到的收敛阶是多少？ 解：设y(t)为该初值问题的解，则局部截断误差

Rn?2??0y(tn)??1y(tn?1)?y(tn?2)?h?2f?tn?2,y(tn?2)?

??0y(tn)??1y(tn?h)?y(tn?2h)?h?2y?(tn?2h) ................................................................ 1分 将y(tn?h)、y(tn?2h)和y?(tn?2h)在tn处展开成Taylor级数得

???Rn?2???0??1?1?y(tn)???1?2??2?hy?(tn)??1?2?2?2?h2y??(t)?2? ................................ 3分

??4???1??2?2?h3y???(t)??63???c0??0??1?1?0?令 ?c1??1?2??2?0 ........................................................................................ 4分

???c2?1?2?2?2?02?142解得 ?0?,?1??,?2? ....................................................................................... 5分

333?42此时有 c3?1??2?2???0

639所以，题中要求的公式的最高阶只能达到2，即只能得到一个二步二阶的线性多步法公式

412yn?1?yn?hf(tn?2,yn?2),n?0,1, 333其局部截断误差为

2........................................................................................................ 6分 Rn?2??h3y????tn??O?h4?

9 yn?2?5 / 5