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浅谈构造法在中学数学解题中的应用 富源六中 范文波

[摘 要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的.

[关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换

1 前言

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一.

构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一.

什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”.

构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助.

构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.如何借助构造的思想实现解题过程中的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处

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理，通过一般化、特殊化的想象，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物和想象物.

构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用.它之所以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受.其妙处在于不是直接去解决所给的问题，而是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而是希望通过它的解决来帮助解决新问题.如果新问题比原问题更简单，更直观，那么这种思考问题的方法就会成功.

2 应用构造法解题

构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创造一些新的情境，提高分析问题解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效.有些问题用别的方法束手无策，可一旦用了构造法就豁然开朗了. 2.1构造函数法

对于某些代数式的证明问题，可以把其中一个元素看成是另一个元素的函数，或者把一个代数式看成一个函数，或者根据题目结构特点，巧妙地构造一个函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的.

例1 求函数y?x?1?x的最大值

分析：由根号下的式子看出x+1-x=1且0?x?1

故可联想到三角函数关系式并构造x?sin2? (0????2)

?所以 y?sinx?cosx?2sin(??)

4 当??2.2 构造方程法

若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题.有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.

例2 已知实数a,b,c满足a?b?c?0和abc?2.求证：a,b,c中至少有一个不小于2 ?4即x?1时，ymax?2 2 2

分析：由条件得,b?c??a，bc?的两个根，故可构造方程来求解.

22.所以b,c是一元二次方程x2?ax??0aa证明：由题设显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a?0.

?b?c??a28?则?,即b,c是二次方程x2?ax??0的两实根.所以??a2??0.2aabc? ?a?故a?2.

2.3 构造几何图形

构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对问题进行推证.

例3若x,y,z?0，则x2?y2?xy?y2?z2?yz?z2?x2?zx. 分析：可以用两边同时平方来证此题，但是太繁.由x2?y2?xy我们就会联想到余弦定理，于是构造三角形用余弦定理来求证.

证明：如图2—2，作?AOB??BOC??COA?120?, 设OA?x,OB?y,OC?z. 由余弦定理AB ＝x?y?xy,

22CzAxyOBBC ＝y2?z2?yz,CA＝z2?x2?zx.

因为AB?BC?CA, 图 2—1 所以x2?y2?xy +y2?z2?yz>z2?x2?zx. 2.4 构造新数列求原数列通项

数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要.构造新数列求通项，既可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们对等差、等比数列的理解深度.

2.4.1 形如an+1?pan?q，求通项公式，可构造新数列?an???

例4 已知数列?an?满足a1?4,an?1?2an?1，求数列?an?通项公式.

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分析：这类题十分常见，它是有一般方法解的.即引入待定系数?，拼凑

an?1???p(an??)，使得?an???成为等比数列.

解：设an?1???p(an??).整理得an?1?pan?p???，与已知an?1?2an?1对比系数得p?2,??1.于是an?1?1?2(an?1)即an?1?1所以数列?an?1?是首项?2，

an?1为a1?1?5，公比为2的等比数列.由an?1?5?2n?1，得an?5?2n?1?1. 2.4.2形如an?1??1?Aan，求通项公式，构造新数列???? an?B?an?11B11.得bn?1?pbn?q. ???，令bn?1?an?1AAanan?1分析：两边同时取倒数得,

例5在数列?an?中，a1?2,an?1?解：由an?1?2an,求数列?an?的通项公式. an?2a?2112an1两边取倒数得， ?n??an?12anan2.an?2,

整理得

?1?11111??，故数列??是首项为，公差为的等差数列.于

22an?1an2?an?是,

211111n ??(n?1)???(n?1)??.故an?nana12222.

注：形如an?1?Aan?B，求数列的通项公式.该数列一般可引如参数?,?,t，

Can?D使得an?1????1?t(an??)，与已知对比后得系数，转化为新数列??k?

(an??)???an???.

2.4.3 构造与Sn有关的数列，再由Sn求an

例6 已知数列?an?前n项的和为Sn，a1?2，Sn?(Sn?1?2)2，求数列?an?的通项公式.

解：由Sn?(Sn?1?2)2得Sn?Sn?1?2，即Sn?Sn?1?2， 即数列

?S?是以nS1?a1?2为首项，以2为公差的等差数列.

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所以Sn?S1?(n?1)?2?2n即Sn?2n2 . 当n?1时，a1?S1?2；

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n2?2(n?1)2?4n?2.

(n?1)?2综上述，数列的通项公式是an?? .

(n?2)4n?2? 2.5构造立体几何模型法

某些不等式的证明，可与立体几何的直观模型密切联系，从而利用立体几何的有关知识给出不等式的一种有效证明.

例7已知：锐角?,?,?满足cos2??cos2??cos2??1 求证：（1）ctg??ctg??ctg??2， 4D'C' （2）cos??cos??cos??3,

A'B'DC（3）sec2??sec2??sec2??9.

AB证明：由条件cos2??cos2??cos2??1 图2—2

联想到构造立体几何模型——长方体， 于是构造长方体ABCD??A?B?C?D?，如图2—2所示，对角线长l，对角线与三条棱的夹角分别为?,?,?.设

AA??a,AB?b,B?C??c.则a2?b2?c2?l，所以有

ctg??ctg??ctg??ab2?c2?ba2?c2?ca2?b2?2abc， ???42bc2ac2ab当且仅当a?b?c,即??????arccos3时取等号. 3abc3a2?b2?c23l2（2）cos??cos??cos????????3

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