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线性代数教学教案

第三章 向量组及其线性组合

授课序号01

教 学 基 本 指 标 教学课题 第三章 第一节 向量组及其线性组合 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 向量组的线性组合、向量组的等价 参考教材 同济版《线性代数》 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 向量由向量组线性表示的判定方法、向量组等价的判定方法 作业布置 课后习题 大纲要求 理解n维向量、向量组、向量组的线性组合、向量组等价的概念以及向量组与矩阵的对应 熟悉向量能由向量组线性表示的判断方法； 熟悉向量组B能由向量组A线性表示的判断方法和两向量组等价的判断方法。 教 学 基 本 内 容 一、 向量的概念及运算： 1. n维向量的定义：由n个数a1,a2,?,an组成的有序数组称为n维向量. 若n维向量写成 ?a1????a2? ??????an?的形式，称为n维列向量；若n维向量写成 ?a1,a2,?,an? 的形式，称为n维行向量. 这n个数称为该向量的n个分量，其中ai称为第i个分量． 常用?,?,?,…来表示n维列向量，而用?,?,?,…来表示n维行向量. 当a1,a2,?,an是复数时，n维向量称为n维复向量，当a1,a2,?,an是实数时，n维向量称为n维实向量，本书所讨论的向量都是实向量. TTT 1

?0???0 分量都是零的向量称为零向量，记为0，即0=??或0=?0,0,?,0?. ??????0???a1??a1??????aa2?2???向量称为向量??的负向量，记为??. ???????????a?n??an?2. 向量的运算： 由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是： ?a1??b1?????ab22设????,????，k?R，则有 ??????????a?n??bn??a1?b1??ka1?????a?bka222?； （2）k????；我们称这两种运算为向量的线性运算. （1）???????????????a?bka?nn??n??b1???b2?T??ab?ab???anbn； （3）????a1,a2,?,an????1122???bn??a1??a1b1???aab??T??2??b1,b2,?,bn???21????????a?n??anb1 二、向量组及其线性组合： 向量组：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． 线性组合：给定n维向量组?1,?2,?,?n，对于任意一组数k1,k2,?,kn，表达式 a1b2a2b2?anb2?a1bn???a2bn?. ?????anbn?k1?1+k2?2+?+kn?n 称为该向量组的一个线性组合. 2

线性表示：给定n维向量组?1,?2,?,?n和一个n维向量?，如果存在一组数k1,k2,?,kn，使得 ??k1?1+k2?2+?+kn?n， 则称向量?可由向量组?1,?2,?,?n线性表示，或者说向量?是向量组?1,?2,?,?n的一个线性组合. 定理1 向量?可由向量组?1,?2,?,?n（唯一）线性表示的充分必要条件是线性方程组x1?1+x2?2+?+xn?n??有（唯一）解. 三、向量组的等价： 向量组A由向量组B线性表示：设A:?1,?2,?,?m是m个n维向量组成的向量组，而B:?1,?2,?,?s是s个n维向量组成的向量组. 如果向量组B中每一个向量?j(j?1,2,?,s)均可由向量组A:?1,?2,?,?m线性表示，则称向量组B:?1,?2,?,?s可由向量组A:?1,?2,?,?m线性表示. ?1,?2,?,?s. 令矩阵????1,?2,?,?m?， 向量组等价：如果向量组A与向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价. 定理2 设有向量组A:?1,?2,?,?m与向量组B:????1,?2,?,?s?，则向量组B可由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵方程 AX?B 有解. 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是矩阵方程 AX?B与BY?A 同时有解. 四、主要例题： ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2例1 将线性方程组?中第i个未知量xi的系数写成一个m维列向量 ??????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm?a1i???a?i??2i??i?1,2,?,n?， ??????ami?而该方程组的常数也写成一个m维列向量 3