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通州区高三年级一模考试

数学试卷

2020年4月

考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟． 2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分． 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A?x0?x?2，B?x1?x?3，则AIB?

A. x0?x?3 B. x2?x?3 C. x0?x?1 D. x1?x?2

2. 已知复数z=i(2?i) （i是虚数单位），则z?

A. 1 B. 2 C. 5 D. 3

3. 函数f(x)?sin2x?cos2x的最小正周期是（ ） Ａ．

4. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1)?2，下列一定在函数f(x)图象上的点是

A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1） 5. 已知a，3，b，9，c成等比数列，且a>0，则log3b?log3c等于 11A. ?1 B. ? C. D. 1

22x26. 已知抛物线y?2px(p?0)的焦点与双曲线?y2?1的右焦点重合，则p?

32A. 2 B. 2 C. 22 D. 4

17. 在(2x?)6的展开式中，常数项是

xA. -160 B. -20 C. 20 D. 160

8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(cos?,sin?)，B(cos(??uuuruuur则OA?OB?

第一部分（选择题 共40分）

????????????π 2

Ｂ．π

Ｃ．2π Ｄ．4π

?3),sin(???3)).

A.1 B. 3 C. 2 D. 与?有关 9. 若a>0，b>0，则“ab≥1”是 “a+b≥2”的 A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“an(a?1,n?N?)是几位数”，他以2n(n?N?)为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：

N?2n(n?0) 21 22 lgN lg2 lg4 lg8 1?lg1.6 N的位数 一位数 一位数 一位数 两位数 两位数 两位数 三位数 三位数 三位数 四位数 23 24 25 26 27 28 1?lg3.2 1?lg6.4 2?lg1.28 2?lg2.56 2?lg5.12 3?lg1.024 29 210 LL LL LL 试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2?0.3010） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知向量a?(1,?2)，b?(?3,m)，其中m?R．若a,b共线 ，则m等于 ___________.

212. 圆?x?1??y2?1的圆心到直线x?3y?1?0的距离

为 .

413.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .

14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有

22正（主）视图23左（侧）视图 俯视图物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ?an?，则a1? ； an? . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）

15.给出下列四个函数，①y?x2?1；②y?x?1?x?2；③y?2x?1；④y?x2?cosx 其中值域为[1，??)的函数的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.（本小题14分）已知△ABC，满足a?是否成立？说明理由. 从①A?7， ，判断△ABC的面积S?2b?2，

?21 ， ② cosB? 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的

73空格处并做答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下： 专项 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 员工 人数 老员工 中年员工 青年员工 4 8 1 0 2 2 2 1 0 2 5 1 0 1 2 3 8 1 （Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望.

18. （本小题15分）

如图，已知四边形ABCD为菱形，且?A?600，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得?AEG?90o. (Ⅰ)求证：AE?平面EBHG； (Ⅱ)求二面角A-GH-B的余弦值；

(Ⅲ)若点F满足AF?λAB，当EF//平面AGH时，求λ的值.

D E A

B

19．（本小题14分）

H GC EA B 2x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．

2ab（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问： y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题14分）已知函数f(x)?(x?a)ex?x?a，设g(x)?f?(x). （Ⅰ）求g(x)的极小值；

（Ⅱ）若f(x)?0在(0,??)上恒成立，求a的取值范围. 21．（本小题14分）

用[x]表示一个小于或等于x的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列a0,a1,?对于所有非负整数i满足ai?1?[ai]?(ai?[ai])，其中a0是任意一个非零实数.

(Ⅰ) 若a0??2.6，写出a1,a2,a3； (Ⅱ)若a0?0，求数列{[ai]}的最小值；

(Ⅲ)证明：存在非负整数k，使得当i?k时，ai?ai?2.