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全国硕士研究生入学统一考试
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1.设{xk}是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若limxk?a，则limx2k?limx2k?1?a.
k??k??k??(B)若limx2k?limx2k?1?a，则limxk?a
k??k??k??(C) 若limxk?a，则limx3k?limx2k?1?a
k??k??k??(D)若limx3k?limx3k?1?a，则limxk?a
k??k??k??2.设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（）
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
3.设D?(x,y)x2?y2?2x,x2?y2?2y，函数f(x,y)D上连续， 则（）
?????f(x,y)dxdy=
D(A)?4d??02cos??02sin?f(rcos?,rsin?)rdr???2d??42sin?02cos?f(rcos?,rsin?)rdrf(rcos?,rsin?)rdr??(B)?4d??0100xf(rcos?,rsin?)rdr???2d??40
(C)2?dx?101?1?x2x?xf(x,y)dyf(x,y)dy(D)2?dx?X4.下列级数中发散的是（）
???(?1)n?1n11n!ln(1?) (C)?（A）?n (B)? (D)?n
lnnnnn?2n?13n?1n?1n??111??1?????5.设矩阵A?12a,b?d,若集合??(1,2)，则线性方程组Ax?b有无穷多解的
?????14a2??d2?????充分必要条件为（）
(A)a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D)a??,d??
2226.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?py下的标准形为2y1?y2?y3，其中
生命不息 - 1 - 奋斗不止
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p?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2),则(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为（）
222222222222（A）2y1?y2?y3 (B)2y1?y2?y3 (C)2y1?y2?y3 (D)2y1?y2?y3
7.设A,B为任意两个随机事件，则（）
（A）P(AB)?P(A)P(B) (B)P(AB)?P(A)P(B)
(C) P(AB)?8.设总体XP(A)?P(B)P(A)?P(B) (D)P(AB)?
22B(m,?)，x1,x2,xn为来自该总体的简单随机样本，X为样本均值，则
?n?E??(xi?X)2??（） ?i?1?（A）(m?1)n?(1??) (B) m(n?1)?(1??) (C) (m?1)(n?1)?(1??) (D) mn?(1??)
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．9limln(cosx)= 。
x??x210设函数f(x)连续，?(x)??x20xf(t)，若?(1)?1，?'(1)?5，则f(1)?
x?2y+3ze?xyz?1确定，则dz(0,0)= z(x,y)z11若函数= 由方程
12设函数y?y(x)是微分方程y?y?2y?0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)= 13设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，则行列式B= B?A?A?E,其中E为3阶单位矩阵，14设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则P(XY?Y＜0)=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数f(x)?x??ln(1?x)?bx?sinx,g(x)?kx,若f(x)与g(x)在x?0时 是等价无穷小，求a,b,k的值。 16、（本题满分10分） 计算二重积分
3'''2??x(x?y)dxdy，其中D??(x,y)xD2?y2?2,y?x2?
17、（本题满分10分）
生命不息 - 2 - 奋斗不止
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为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，p为价格，MC为边际成本，η为需求弹性（η＞0） （i）证明定价模型为p?MC 11??（ii）若该商品的成本函数为C(Q)?1600?Q，需求函数为Q?40?p，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格。 18、（本题满分10分）
设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，曲线y?f(x)在点
2?x0,f(x0)?处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)?2，求f(x)的表达式。 19、（本题满分10分）
（i）设函数u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明?u(x)v(x)??u(x)v(x)?u(x)v(x)
'''（ii）设函数u1(x),u2(x),K,u*(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)Ku*(x)，写出f(x)的求导公式。
20（本题满分11分）
?a10???3（20）设矩阵A??1a?1?,且A?0.
?01a???（i）求a的值；
（ii）若矩阵X满足X?XA?AX?AXA?E,其中E为3阶单位矩阵，求X.
21（本题满分11分）
22?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?，相似于矩阵B??0b0?，
?1?2a??031?????（i）求a,b的值（ii）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵。 22（本题满分11分）
?1?2?xln2,x＞0,设随机变量X的概率密度为f(x)??
?0,x?0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数。 生命不息 - 3 - 奋斗不止