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勾股定理全章复习与巩固（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】

【要点梳理】

【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a?b?c）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为

的线段.

222要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

（2）验证c与a?b是否具有相等关系，若a?b?c，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数

满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以

222222222222x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三

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角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c，且a?b?c，那么存在a?b?c成立.（例如④中存在7＝24＋25、

2292＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长． 【答案与解析】 解：设第三边为x．

当x为斜边时，由勾股定理得x?6?8． 所以x?62?82?36?64?100?10． 当x为直角边时，由勾股定理，得x?6?8． 所以x?82?62?64?36?28?27． 所以这个三角形的第三边为10或27．

【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边． 举一反三：

【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长． 【答案】 解：

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

由勾股定理，得BD?AB?AD?15?12?81． ∴ BD?81?9．

同理CD?AC?AD?13?12?25． ∴ CD?222222222222222225?5．

①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．

∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32． ②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．

∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．

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综上所述：△ABC的周长为32或42．

2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点． 求证：AM?BM?2CM．

222

【思路点拨】欲证的等式中出现了AM、BM、CM，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB． 【答案与解析】

证明：过点C作CD⊥AB于D． ∵ AC＝BC，CD⊥AB， ∴ AD＝BD．

∵ ∠ACB＝90°， ∴ CD＝AD＝DB．

∴ AM?BM??AD?DM???AD?DM?

22222

2

2

?AD2?2AD?DM?DM2?AD2?2AD?DM?DM2

?2(AD2?DM2)

?2(CD2?DM2)

在Rt△CDM中，CD?DM?CM， ∴ AM?BM?2CM．

【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证． 举一反三：

【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB?AD?BD?CD.

22222222

【答案】

解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,

则在Rt△ABM中：

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