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拉格朗日插值法在高中数学中的应用

作者：袁佳玉 徐嘉龙

来源：《中国科教创新导刊》2013年第27期

摘 要：在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种插值方法。对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个简单函数，其恰好在各个观测的点取到观测到的值，这个函数可以是代数多项式，三角多项式等。本文主要讨论拉个朗日插值多项式在高中数学中的应用。 关键词：拉格朗日插值法 高中数学 应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（c）-0103-01 首先，我们给出插值函数的定义：

本文只讨论多项式插值，即求一次数不超过n的多项式：

本文主要讨论插值多项式在高中数学中的应用，所以下面我们看一下如何得到插值多项式。

1 插值多项式

定义2：对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。 2 应用

本文给出插值多项式的目的是省去我们高中数学中遇到的一些繁琐的求解过程，例如求函数的解析式，复杂的因式分解以及一些特殊的证明题。

分析：本题的一般方法不多说，如应用上述的插值多项式公式带入也可直接求得。 解：

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在奥林匹克数学中，会遇到复杂的因式分解的题。 例2：因式分解：

分析：通常我们会用拆项合并来进行因式分解，但本题显然很难求得。观察其与插值多项式接近，所以尝试用多项式的方法。

分析：显然本题要用反证法证明，通常我们假设都大于，然后列出不等式组讨论，得到矛盾。但本题也可用插值多项式证明。

以上给出了三个在高中数学中常见的应用插值多项式解的题，事实上，还有很多类型题是可以利用插值多项式来解决的，在这里就不一一列举了。 参考文献

[1] E. Waring.Problems Concerning Interpolations[J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London，1779（69）：59-67. [2] 冯有前.数值分析[Z]. [3] 李庆扬.数值分析[Z].

[4] 王兆清，李淑萍，唐炳涛.一维重心型插值：公式、算法和应用[J].山东建筑大学学报，2007，22（5）：447-453.

[5] 拉格朗日插值多项式[D].太原理工大学.