内容发布更新时间 : 2024/6/27 0:47:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 一元函数微分学

第一节 导数的概念

教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的

变化率。

教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的

变化率。

教学形式：多媒体教室里的讲授 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。 二、新授课

1．导数概念实例

（ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题

设动点M作变速直线运动，其经过的路程s是时间t的函数，即s?s(t)，求它在时刻

t0的瞬时速度。

如右图所示，假定在某一瞬时t0,动点的M位置是s0?s(t0)，而经过极短的时间间隔?t后,即在瞬时t0??t,动点的位置到达s?s(t0??t)，于是动点M在时间间隔?t内所走过的路程是：

△ss0s?s?s?s0?s(t0??t)?s(t0)，

动点M在?t这段时间内的平均速度v为

?ss(t0??t)?s(t0)v??

?t?t由于时间间隔?t较短，它可以大致说明动点M在t0时刻的速度，且时间间隔?t取得

越小，这段时间内的平均速度愈接近t0时刻瞬时速度。若令?t趋于零，则极限值

s(t??t)?s(t0)lim0精确地反映了动点在t0时刻的瞬时速度 。 ?t?0?t?slims(t0??t)?s(t0)? v(t0)?lim?t?0?t?0?t?t（2）、切线问题

割线的极限位置——切线位置（附：Flash说明）

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

极限位置即

设

割线MN的斜率为

。

，

，，

切线MT的斜率为 。

2．导数的定义

上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限：

?x?0limf(x0??x)?f(x0)

?xf(x0??x)?f(x0)?y?是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。

?x?x定义：设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0取得增量?x时，相应地函数y取得的增量?y?f(x0??x)?f(x0)。

f(x0??x)?f(x0)?y?lim若极限lim存在，则函数f(x)在点x0处可导，并称此

?x?0?x?x?0?x极限值为函数y?f(x)在点x0的导数，记为：

其中

f'(x0) y'|x?x0即

dydf(x) |x?x0 或 |x?x0

dxdx

其他形式 ；

关于导数的说明： ①点导数是因变量在点

程度。

② 如果函数导。

③ 对于任意

。

处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢

在开区间内可

在开区间内的每点处都可导，就称函数

都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导

函数记作，，或。 即

或

注意：1）.

。

。

2）.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。

3．由定义求导数

步骤：(1)求增量 (2)算比值

； ；

(3)求极值 。

根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用Mathematica的Limit[ ]语句计算，步骤如下:

1> 定义函数

f[x_]?函数表达式

2> 根据定义求导

Limit[(f[x?h]?f[x])/h,h?0 ]

例1 设圆的面积为A,半径为r,求面积A关于半径r的变化率。 解（1）:

1> 面积关于半径函数关系为 A(r)??r；

2> 圆半径r的增量?r，则圆面积的增量为?A??(r??r)2??r2； 3> 圆面积的平均变化率为

2?A； ?r4> 面积A对半径r的变化率为

?A?(r??r)2??r2A'(r)?lim?lim?r?0?r?r?0?r 22?r(?r)??(?r)?lim?lim?(2r??r)?2?r?r?0?r?0?r解（2）:用Mathematica求解

例2 求函数解（1）：

(C为常数)的导数。

。

即

。

解（2）用Mathematica求解

课堂练习 P45 第5题

例3 根据导数的定义求y?x的导数，其中n为正整数 。

n