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第0章 数学史—人类文明的重要篇章

一、数学史研究哪些内容？（P1）

数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学 二、数学史通常采用哪些线索进行分期？（P9）

1、按时代顺序 2、按数学对象、方法等本身的质变过程 3、按数学发展的社会背景 三、本书对数学史如何分期？（P9）

1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）； 2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；

A.古代希腊数学（公元前6世纪—6世纪） B.中世纪东方数学（3世纪—15世纪） C.欧洲文艺复兴时期（15世纪—16世纪） 3、近代数学时期（17世纪－18世纪）； 4、现代数学时期（1820年至今）。

A.现代数学酝酿时期（1820’—1870） B.现代数学形成时期（1870—1940）

C.现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950—现在）

四、近几年新编的中小学数学教材中，增加了不少数学史知识.请对这种变化的积极意义谈谈你的认识与体会. 这些数学史有效的补充了教材内容，使教材内容更丰富、充实，让学生对数学的历史有了进一步的了解，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的数学素养。将数学史融入数学实践活动，例如以七巧板系列活动为主题，以提高学生创新思维为抓手，由浅入深，循序渐进地开展了面向全体学生的智力七巧板实践活动。七巧板实践活动的开展，充实了数学史应用的内容，丰富了学生的课余生活，培养了学生组合分解能力、动手实践能力和思维创新能力，特别是对学生创新素质的提高产生了积极的作用和深远的影响。 第一章 数学的起源与早期发展

一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？（P13）

1.古埃及的象形数字（公元前3400年左右） 2.古巴比伦的楔形数字（公元前2400年左右） 3.中国的甲骨文（公元前1600年左右） 4.希腊阿提卡数字（公元前500年左右）

5.中国的算筹码（公元前500年左右） 6.印度婆罗门数字（公元前500年左右） 7.玛雅数字（？） 其中除巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系 二、“河谷文明”指的是什么？（P16）

历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国、印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。

三、古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？纸草书中问题绝大部分是实用性质，但个别例外，请举例。（见P23） 古埃及数学的知识，主要就是依据两部纸草书—莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。 四、美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处主要表现在哪些方面？（P23—25）

1.大多数文明普遍采用十进制，但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。

2.美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位置原理推广应用到整数以为的分数。 3.美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。 第二章 古代希腊数学

一、希腊数学一般是指什么时期，活动于什么地方的数学家创造的数学？（P32）

希腊数学一般指从公元前600年一公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。

二、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于什么发现而受到动摇？这个“第一次数学危机”是由于什么人提出的新比例理论而暂时消除？（P38）

毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条吗，由于不可公度量的发现而受到了动摇。大约一个世纪以后，这一“危机”才由于毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出新比例理论而暂时消除。

三、古希腊数学学派主要有哪些学派?（整章）

A.伊利亚学派 B.诡辩学派 C.雅典学院（柏拉图学派） D.亚里士多德学派 D.黄金时代—亚历山大学派 四、古希腊三大著名几何问题是什么？(P40)

1.化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。

2.倍立方体，即求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 3.三等分角，即分任意角为三等分。 五、亚里士多德《物理学》中记载芝诺提出的四个著名的悖论是什么？（P43）

A.二分法 B.阿基里斯 C.飞箭 D.运动场

六、希腊数学的“黄金时代”指的是什么时间?这时期希腊数学的中心从雅典移到何处，此处出现了哪三大数学家？

从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”（即公元前338—30年）。先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家。 七、几何《原本》共分多少卷，包括有多少条公理，多少条公设，多少个定义和多少条命题？（P46）

全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设、119个定义和465条命题。

八、阿基米德生平及数学研究的功绩？（P52－54）

A.阿基米德（公元前287—前212）出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切的联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来。

B.阿基米德著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有：《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥曲面和旋转椭球》、《引理集》、《处理力学问题的方法》、《论平面图形的平衡或其重心》、《论浮体》、《沙粒计数》、《牛群问题》。 九、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？（P58）

阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学，但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。 第三章 中世纪的中国数学

一、中国数学史上何时何人何种方法最先完成勾股定理证明？（P70）

中国数学史上最早完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。 二、《周髀算经》作者，成书年代、主要成就。（P69）

《周髀算经》作者不详，成书年代据考应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周（公元前11世纪—前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。

三、《九章算术》中各章名称是什么?这些章节中谈论算术、代数、几何方面的内容为哪些章节？（P71—78）

《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。论算术为：方田，粟米，衰分，均输，盈不足。代数为：方程，少广。几何为：方田，商功，勾股。

四、刘徽代表著作及其数学成就中最突出是什么？（P78）

刘徽代表著为《九章算术注》，刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。 五、何谓“祖氏原理”，它在西方文献中称为什么原理？（P87）

祖氏原理：幂势既同，则积不容异。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列里原理”。

六、《算经十书》是指哪十书？（阅读P88） 《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《夏候阳算经》、《五曹算经》《五经算

经》、《缀术》、《缉古算经》。

七、九章算术方程术（P73）

“方程术”即线性联立方程组的解法。《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消去法”。《九章算术》方程术，是世界数学史上的一颗明珠。 八、勾股圆方图（见P70） 另：“宋元四大家”有杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。“贾宪三角”，在西方文献中则称“帕斯卡三角”。秦九韶的代表著作《数书九章》。朱世杰代表著作《算学启蒙》、《四元玉鉴》。系统阐述开元术的是李治的《测圆海镜》和《益古演段》两部著作。（阅读P90—104，代表作，成就） 第四章 印度与阿拉伯的数学

一、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的数学内容?（P107）

所谓“巴克沙利手稿”，是数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。

二、“阿拉伯数学”是否单指阿拉伯国家的数学？（P113）

“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。

三、 第一次给出一元二次方程的一般代数解法是来至何人著的著作?，他用什么方法证明了这一方法？（P114）

花拉子米的上述著作通常也称为《代数学》。书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。 第五章 近代数学的兴起

一、数学符号系统化首先应归功于哪位数学家，对这位数学使用的代数符号的改进工作是由何人完成的？ （P129）

数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。数学符号的改进工作是由笛卡儿完成的。

二、球面三角与平面三角何者先出现？（P131）

早期的三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角学主要是球面三角，后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。

三、对数是何人首先发明？它的产生主要是由于什么的需要？（P136、P135）

苏格兰贵族数学家纳皮尔正是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。它的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要。

四、笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说，请试述其中的任意其一。（见P142） 第六章 微积分的创立

一、微积分与积分学的起源何者在先，何者在后？（P144）

与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。

二、微积分酝酿阶段最有代表性的工作有哪几项？(P146—154)

1.开普勒与旋转体体积 2.卡瓦列里不可分量原理 3.笛卡儿“圆法” 4.费马求极大值与极小值的方法 5.巴罗“微分三角形” 6.沃利斯“无穷算术”

三、牛顿走上创立微积分之路受哪两部著作的影响最深？（P155）

笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。 四、 为什么说在微积分的创立上牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？（见P174） 牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。他们都是使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反

切线（微分）运算。 第十四章 数学与社会

一、两项影响最大的国际数学奖励是什么奖？（P376）

两项影响最大的国际数学奖励──菲尔兹奖和沃尔夫奖。

题型：

一． 选择题

1．我们现在的“星期制”是在什么时代创立的？ （B） A古埃及 B古巴比伦 C古印度 D古代中国 2、下面选项哪个不属于阿拉伯的成就 （C） A“代数学” B“算术之钥” C阿拉伯数字的发明 D”论四边形”

3. 魏晋时期是中国古代学术是继春秋之后又一个繁荣时期，这时候出现了许多著名的数学著作，例如孙子问题，百鸡问题等。请问百鸡问题出自下来哪部著作？ （C） A、《孙子算经》 B、《九章算术》 C、《张邱建算经》 D、《周髀算经》

4. 最早记录勾股定理的我国古代名著是 （C） A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》

5.中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是 （B） A.周公后人荣方与陈子 B.三国时期的赵爽

C.西汉的张苍、耿寿昌 D.魏晋南北朝时期的刘徽 6.《九章算术》中的“阳马”是 （B） A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.拟柱体 7. 下列_____不是欧洲文艺复兴时期的著名数学家 （C） A.韦达 B.笛卡儿 C.斐波那契 D.帕斯卡

8. 《关于赌博中的推断》一书的作者是 （C） Ａ梅累 Ｂ帕斯卡 Ｃ惠更斯 Ｄ费马

9. 历史上第一个给出第五公设证明的是 （D） A高斯 B波尔约 C罗巴切夫斯基 D托勒密 10. 希腊数学亚历山大时期的三大数学巨人不包括 （B） A阿基米德 B毕达哥拉斯 C欧几里得 D阿波罗尼奥斯

11.《几何学》的问世，是解析几何学产生的重要标志，它的作者是 （A） A笛卡尔 B费马 C开普勒 D伽利略

12. 以下对代数方程解的问题做出重大贡献的人不包括（D） A阿贝尔 B伽罗瓦 C鲁菲尼 D费马

13. 以下不是现代数学的理论基础的是 （D） A 泛函分析 B 抽象代数 C拓扑学 D解析几何 14. 我国最早提出负数概念的数学经典著作是（A） A《九章算术》 B《算数书》 C《周髀算经》 D《代数拾遗》

二． 填空题

1.我们现在对古巴比伦数学及其他文化的了解，主要来自那些记载了楔形文字的泥版书 。 2.在阿拉伯集合中，最精彩的篇章是卡西关于圆周率 的计算。

3.我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫割圆术 ，它的基本思想是“化圆为方 ”。

4.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中杨辉三角形 基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。

5.标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书 。

6.“增乘开方法”包含了四种算法，分别为：缩根，估根，减根，倍根 。 7．韦达 第一个有意识地、系统地使用了字母。 8. 概率本质是研究随机现象 的一门科学。 9. 几何学可以分为欧式几何和非欧几何 。 10. 《几何原本》的作者是欧几里得 。 11.笛卡尔和费马是解析几何的创始人。

12. 挪威年轻数学家阿贝尔证明了高于四次代数方程是不可根式解 的问题 13. 控制论的创始人是美国数学家维纳 。

14. 旋轮线方程被称作“ 几何学中的海伦” 。

三． 名词解释 1.德萨格定理

答：如果两个三角形（在同一平面内或不在同一平面内）对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线；反之亦然。 2. 帕斯卡定理

答：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其三对对边的交点共线；反之亦然。 3．蒲丰问题 答：将一根长为2l的针任意投在画有许多平行直线的平面内，这些平行直线间的距离为2a(a?l)，可以证明，针与其中任一直线相交的概率为p?2la?.当p通过试验得到时，我们就可以用之来确定圆周率?值。

4．解析几何

答：解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，又叫做坐标几何。 5. 归谬法

答：首先假设对方的论点是正确的，然后从这一论点中加以引申、推论，从而得出极其荒谬可笑的结论来，以驳倒对方论点的一种论证方法。 6. 恰当方程

答：指方程中M（x,y）dx+N(x,y)dy=0中的Mdx+Ndy恰好是某个函数z=f(x,y)的微分。

四． 简答题

1． 简述中国传统数学的特点。 答：追求实用、注重算法、寓理于算

2． 数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的标志是什么？它的三位发明人是谁？ 答：非欧几何的产生（P166）；高斯、波尔约、罗巴切夫斯基（P158） 3． 简述欧拉对微积分所做的贡献。

答：欧拉集中精力撰写了《几分学原理》一书，系统的阐述了微积分发明以来的所有积分学成就，其中充满了欧拉精辟的见解。欧拉还是微积分方程近似解法的创始人。

4． 简述计算技术与计算方法的关系。

答：计算技术域计算方法是相辅相成、相互促进的。 电子计算机的发展对计算方法不断提出新的目标和要求。

计算方法的发展也会启发工程师改进计算机结构，以满足计算方法发展的需要。 这种相互依存的关系，使得现代计算数学不断涌现新概念、新课题和新方法。

五． 论述题

1. 学习数学史的意义 答：（1）数学史揭示出数学知识的现实来源和应用，从而从中感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，熟