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第五章?矩阵的特征值

和特征向量

来源：线性代数精品课程组????作者：线性代数精品课程组

1．教学目的和要求：

(1)?理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.

(2)?了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3)?了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点：

(1)?会求矩阵的特征值与特征向量. (2)?会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容：

本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.

§1?矩阵的特征值和特征向量

定义1??设

是一个阶方阵，

是一个数，如果方程

???????????????????????????????????(1)

的一个特征值，相应的非零解向量

称为属于特征值

的特征向量．

??????????????????????? ????存在非零解向量，则称???（1）式也可写成， ?????????????????????????

为

??????????????????????????????????(2)

这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 ?????????????????????????

,??????????????????????????????????? (3)

?即??? ????

?????上式是以项式，记作

为未知数的一元，称为方阵

次方程，称为方阵

???????????????????? 的特征方程．?其左端

是

的

次多

的特征多项式．

???????? ????????=

==??

显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重

有个特征值．

由多项式的根与系数之间的关系，不难证明

?的一个特征值，则重根，则

称为

一定是方程的

重特征根．方程?

的根,?因此又称特征根，若

为方程

根按重数计算），因此，阶矩阵

设阶矩阵（ⅰ）（ⅱ）若

为的

相应于

的特征值为

的每一个非零解向量都是

的特征向量，于是我们可以得到求矩阵

的特征多项式

；

的全部特征值和特征向量的方法如下：

?????第一步：计算

?????第二步：求出特征方程?????第三步：对于的一个基础解系??????????

的每一个特征值

，则

的全部根，即为的全部特征值；

，求出齐次线性方程组：

的全部特征向量是

是不全为零的任意实数）．

的属于特征值（其中

例1? 求解??

的特征多项式为

的特征值和特征向量.

=

所以

的特征值为

得

?????当=2时，解齐次线性方程组

解得因此，属于

令=1，则其基础解系为：= .

=2的全部特征向量为：

当=4时，解齐次线性方程组得令=1，

则其基础解系为：[注]：若

是

的属于

因此的属于=4的全部特征向量为

也是对应于

的特征向量，则的特征向量，因而特征向量不能由

特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

例2? 求矩阵

??????????解?

的特征多项式为

的特征值和特征向量.

??????????所以对于

的特征值为=

==

=2（二重根），

=?

. ．由

，

=2，解齐次线性方程组

????????，

得基础解系为：因此，属于对于

=

????

=2的全部特征向量为：

不同时为零.

．由

，解齐次线性方程组

?????????，