内容发布更新时间 : 2024/5/16 3:18:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

金融时间序列分析

第一章 绪论

第一节 时间序列分析的一般问题

人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价 格、债券的收益等等，

例 某支股票的价格。。 。

如何从这些数据中总结、发现其变化规律， 如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行 从这些数据中总结 为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。

研究方式

数据 建立模型 预测

数据数据的类型。

横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横 剖面数据， 剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存 在的内在数值联系。 例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城 市的温度，都是横剖面数据； 研究方法：多元统计分析 。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据， 称为纵剖面数据， 纵剖面数据， 又称为动态数据。 它反映的是现象与现象之间关系的发展变化 规律。 例如，南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票 在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据 研究方法：时间序列分析 时间序列概念 时间序列概念 。时间序列： 简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其 中每一项的取值是随机的。 严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。 设 (?, β , P ) 是一个概率空间，其中 ? 是样本空间，β 是 ? 上的 σ -代数，P 是 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 上的概率测度。又设 T 是一个有序指标集。 概率空间 (?, β , P ) 上的随机变量 { X t : t ∈ T } 的全体称为随机过程。 随机过程。 注： 指标集T 可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离 散之分。 定义： 定义：若 {t i } 是 R 中的一个离散子集，则称随机过程 { X t : t ∈ {t i }} = { X ti } 是一个 时间序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。 注： 1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照 时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此 这数列表现出随机性。 2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的 历史行为的客观记录。 。时间序列的特点: (1) 序列中的数据依赖于时间顺序； (2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性； (3)序列中前后的数值有一定的相关性----系统的动态规律 (4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。 。研究时间序列的意义 通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期 波动的周期、振幅，等等） ；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来 行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。 时间序列分析 根据时间序列所包含的历史行为的信息， 寻找相应系统的内在统计特征和发 时间序列分析。 展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析 注： 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法， 是统计学的一个分支。 。时间序列分析的类型(详见 P7) 。确定性时序分析：设

法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势 分析、 季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法， 称为确定性时序分析 。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来 研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二节 列的预测技术 第二节 时间序列的预测技术 本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列， 这些时间序列具有一些典 型特征。 时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研 究其变化趋势。 时间序列的基本变动 。长期趋势变动：指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水 平上的倾向。 例如，1950 年至 2000 年我国人口数一直保持增长的趋势；2000 年至 2005 年人口数量稳定在 13 亿。 。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、 生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。 例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。 。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的 波动。 例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。 。不规则变动：由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因 素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果 例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国 7 月份福 建、浙江因台风遭受重大损失等。 几种常见的预测模型 几种常见的预测模型 如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 σ 2 较小，并且有 理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来， 可以用如下一些经验方 法来进行预测。 ? 。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即 xt +1 = xt 。移动平均模型（滑动平均，Moving Average Model） ： 当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会 产生较大偏差， 可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的 影响。 设观察值序列 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ，一次移动平均模型 为 x (1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 ? 我们用此值作为下一时刻的预测值，即令 xt +1 = x (1) t 。 注：1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化， 并使趋势倾向更加明显。 2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型 来作预测。 3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均 模型，即 1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t ?1 + ? ? ? + x (1) t ?( n?1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型 ? xt + j = at + bt j ， j = 1,2,? ? ? ? ? 其中： at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t ， bt = 2 ? ? ( x (1) t ? x ( 2) t ) ， n 为周期长度。该模型在数 n ?1 据处理中常用来作为预处理， 消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有 效的。 。指数平滑模型（Exponential Smoothing Model） ： 观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定： （1）下一期的预测值只与前 n 期的历史数据有关，而与前 n 期以前的历史 记录无关； （2）前 n 期的历史数据对预测值的影响是相同的， 即都加权数 1 n 。 然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我们不能充分利用数据带 来的信息；假定（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数 据对预测的影响应当越小。 为了克服移动平均模型的缺点， 更好地符合实际情况， 我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。 设观察值序列为 x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ， 由移动平均模型有 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 = xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1 代替 xt ?n ，并记 α = ，则上式可以写成 n x (1) t = x (1) t = αxt + (1 ? α ) x (1) t ?1 一般地，一次指数平滑模型 为 S (1 ) t = α x t + (1 ? α ) S (1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and

Economics, 2006 金融时间序列分析 其中 α （ 0 < α < 1 ）为加权系数。 利用上述递推公式，我们可以进一步得到 St (1) = αxt + (1 ? α )[αxt ?1 + (1 ? α ) S (1) t ?2 ] = αxt + α (1 ? α ) xt ?1 + (1 ? α ) 2 [αxt ? 2 + (1 ? α ) S (1) t ?3 ] = ? = α ∑ (1 ? α ) j xt ? j j =0 ∞ 注：1、上式中加权系数呈指数函数衰减，加权平均能消除或减弱随机干扰的影 响。 2、指数平滑模型是以当前时刻 t 为起点，综合历史数据的信息，来对未来进 行预测的。其中加权系数 α 的选择是提高预测精度的关键。根据经验，α 的取值 范围一般为 0.1—0.3。 3、类似地，我们也有如下的二次、三次平滑公式，等等 St St ( 2) = αS (1) t + (1 ? α ) S ( 2) t ?1 ， = αS ( 2) t + (1 ? α ) S (3) t ?1 ( 3) 加权系数 α 的作用：由一次指数平滑公式有 ? (1) ? ? xt +1 = S (1) t = S (1) t ?1 + α ( xt ? S (1) t ?1 ) = x (1) t + α ( xt ? x (1) t ) 其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正，因此， α 的大小反映了对上期预测误差修正的幅度 的大小反映了对上期预测误差 对上期预测误差修正的幅度 α 值越大，加权系数的序列衰减速度就越快，采用的历史数据就越少。由此可以 得到 α 取值的一般原则： （1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则 α 值应取小些，以减少修正幅度，使预测模型包含更多历史数据的信息； （2）如果预测目标的基本趋势发生系统变化，则 α 值应取大些，可以偏重新 数据的信息队原来模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。 金融时间序列及其特征 第三节 金融时间序列及其特征 金融时间序列分析研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。 它是一个带 有高度经验性的学科， 但也像其它科学一样，理论是形成分析推断的基础。然 而，金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点：金融理论及 其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对 一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统计 理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 资产收益率 多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 和 MacKinlay (1997) 给出了两个使用收益率的主要理由： 第一， 对普通的投资者来说， 资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小； 第二，收益率序列比价格序列有更好的统计性质，因而更容易处理。 设 Pt 是资产在 t 时刻的价格，假定资产不支付分红。 。单周期简单收益率 若从第 t ? 1 天到第 t 天这一个周期持有某种资产，则单周期的简单毛收益率 单周期的简单毛收益率 定义为 1 + Rt = Pt Pt ?1 或 Pt = Pt ?1 (1 + Rt ) 对应的单周期简单净收益率 或 称简单收益率 为 Rt = Pt P ? Pt ?1 ?1 = t Pt ?1 Pt ?1 。多周期简单收益率 若从第 t ? k 天到第 t 天这个 k 个周期内持有某种资产， k 周期简单毛收益率 则 定义为 1 + Rt [k ] = Pt P P P = t × t ?1 × ? ? ? × t ? k +1 Pt ? k Pt ?1 Pt ? 2 Pt ?k k ?1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt ?1 ) ? ? ? (1 + Rt ?k +1 ) = ∏ (1 + Rt ? j ) k 周期简单毛收益率也称为复合收益率。由上式可见， k 周期简单毛收益率恰是 k 个单周期简单毛收益率的乘积 k 周期简单净收益率 为 Rt [k ] = Pt P ? Pt ? k ?1 = t Pt ?k Pt ?k 注：在实践中，实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的，例如是月收益率 还是年收益率。若时间区间没有明确给出，那么一般认为隐含假定时间区间 为一年。 如果持有资产年限为 k 年，则年度化的平均收益率定义为 ? k ?1 ? 年度化的 {Rt [k ]} = ?∏ (1 + Rt ? j )? ? j =0 ? 即为 k 个单周期简单毛收益率的几何平均。 1 k ?1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 由于算术平均要比几何平均容易计算， 所以年度化的平均收益率也可以用算 术平均来表示为： ? 1 k ?1 ? 年度化的 {Rt [k ]} = exp? ∑ ln(1 + Rt ? j )? ? 1 ? k j =0 ? 注意到单周期收益率一般很小，利用一阶 Taylor 展开式 e x ≈ 1 + x 与 ln(1 + x) ≈ x ，年度化的平均收益率又可以进一步近似地表示为： 年度化的 {Rt [k ]} ≈ 1 k ?1 ∑ Rt ? j k j =0 。连续复合收益率 连续复合的含义：例 假定银行存款的年利息为 10%，最初存款为 1 美元。假如该银行每年支 付一次利息，那么