内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:23:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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6.4 数列求和、数列的综合应用
挖命题 【考情探究】
5年考情 考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 预测热度 ①掌握非等差、等比数列求1.数列求和 和的几种常见方法. ②能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等2017课标Ⅰ,12,5分 数列求和 等比数列的前n项和公式的应用 等差数列基本量的计算 递推关系式及等差数列的通项公式 ★★★ 2017 课标Ⅱ,15,5分 裂项相消法求和 比关系,抽象出数列的模2015 课标Ⅰ,17,12分 裂项相消法求和 2.数列的 综合应用 型,并能用有关知识解决相应的问题 2016课标Ⅱ,17,12分 数列的综合应用 取整函数 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.
破考点 【考点集训】
考点一 数列求和
1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{an}中,a4=5,a7=11.设bn=(-1)·an,则数列{bn}的前100项之和S100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案 D
2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知Sn为{an}的前n项和,若an(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于 . 答案 2 332
3.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{an},{bn}满足
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n
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2
anbn=1,an=n+3n+2,则{bn}的前2 018项和为 . 答案
考点二 数列的综合应用
1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1,公差与公比均为3,则 + + =( )
A.64 B.32 C.38 D.33 答案 D
2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{an}满足an=log(n+1)(n+2)(n∈N),我们把使
*
乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2 004)内的所有“优数”的和为( ) A.1 024 B.2 003 C.2 026 D.2 048 答案 C
3.已知an=3(n∈N),记数列{an}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N, k≥3n-6恒成立,
则实数k的取值范围是 . 答案 k≥
n
*
*
炼技法 【方法集训】
方法1 错位相减法求和
1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2,则使得Sn-nan+1+50<0的最小正整数n的值为 . 答案 5
2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)在函数f(x)=x+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=an( - +1),求数列{bn}的前n项和Tn. 解析 (1)设数列{an}的公差为d, 则Sn=na1+
-
2
n
d= n+ - n,
2
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又Sn=n+Bn+C-1,两式对照得 解得
- 所以a1=1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N). (2)由(1)知bn=(2n-1)(2·2-1+1)=(2n-1)2, 则Tn=1×2+3×2+…+(2n-1)·2,
2Tn=1×2+3×2+…+(2n-3)·2+(2n-1)·2, 两式相减得Tn=(2n-1)·2-2(2+…+2)-2 =(2n-1)·2-2×=(2n-3)·2+6.
n+1n+1
n+1
2
n
2
3
n
n+1
2
nn-1
n*
- -
-
-2
方法2 裂项相消法求和
1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列
A. +1 B. -1 C. +1 D. -1 答案 B
2.(2018湖南邵阳期末,15)设数列{(n+n)an}是等比数列,且a1=,a2=,则数列{3an}的前15
2
的前2 017项的和为( )
n
项和为 . 答案
n-1
*
3.(2017广东潮州二模,16)已知Sn为数列{an}的前n项和,an=2·3(n∈N),若bn= b1+b2+…+bn= . 答案 -
-
,则
过专题 【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 数列求和
1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 答案
= .
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2.(2015课标Ⅰ,17,12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式; (2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.
可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an).由于an>0,所以 an+1-an=2.又由 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差
数列,通项公式为an=2n+1.(6分) (2)由an=2n+1可知bn= Tn=b1+b2+…+bn=
= = - .设数列{bn}的前n项和为Tn,则
- + - +…+ - = .(12分)
思路分析 (1)由 +2an=4Sn+3,得 +2an+1=4Sn+1+3,两式相减得出递推关系,再求出a1,利
用等差数列的通项公式可得通项.(2)利用裂项相消法求Tn - .
考点二 数列的综合应用
1.(2017课标Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数
N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 答案 A
2.(2016课标Ⅱ,17,12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
解析 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(6分)
(2)因为bn= (9分)
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所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)
思路分析 (1)先求公差,从而得通项an,再根据已知条件求b1,b11,b101.(2)分析出{bn}中项的规律,进而求出数列{bn}的前1 000项和.
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 数列求和
1.(2018天津,18,13分)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N). (i)求Tn; (ii)证明
*
*
=
-2(n∈N).
2
*
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故an=2.设等差数列{bn}的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列{an}的通项公式为an=2,数列{bn}的通项公式为bn=n. (2)(i)由(1),有Sn= - =2-1, 故Tn= - - =
(ii)证明:因为 =n-1
n-1
-
n
- -
-n=2-n-2.
n+1
- -
= = - ,所以,
= - + - +…+ - = -2.
2
2.(2016山东,18,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)令cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.
当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d.由 即
可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1. (2)
由
2
(1)
3
知cn=
n+1
=3(n+1)·2.
3
4
n+1
又Tn=c1+c2+…+cn,
n+2
得
Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],2Tn=3×[2×2+3×2+…+(n+1)×2],两式作差,得
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