内容发布更新时间 : 2025/1/5 8:37:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
基本不等式中
不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．
1．基本不等式ab≤
a＋b2
基本不等式的使用条件：
① 一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；
② 二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a＋b≥2ab和ab≤(1)＋≥2(a，b同号)； (2)＋≤－2(a，b异号)； (3)≤ab≤≤112＋2
2
2
a＋b2
可以引申出的常用结论
baabbaaba＋ba2＋b2??a＋b?2≤a＋b(a＞0，b＞0)?．
(a＞0，b＞0) ?或ab≤???22?2???
22
ab3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x＞0，y＞0，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2P．(简记：“积定和最小”) (2)如果x＞0，y＞0，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)
4
类型一、直接应用类 此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
解答技巧一：直接应用
【母题一】若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________． 【解析】由于x＞0，y＞0，则x＋y≥2xy，所以xy≤?S2
?x＋y?2＝81，当且仅当x＝y＝9时，??2?xy取到最大值81． 【答案】81 【变式】
1
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
xA．最大值为0 C．最大值为－4
B．最小值为0 D．最小值为－4
【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－?时取等号．
【答案】C
?－x＋1?－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1，即x＝－1
－x?－x??
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为 ( ) 1
A． 33
C． 4
1B． 22D． 3
【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3?等号．
【答案】B
?x＋1－x?2＝3．当x＝1－x，即x＝1时取
?2?2?4
3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为__________．
【解析】∵3【答案】3
4．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
【解析】依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20．
【答案】20
类型二、配凑定值类(恒等变形类) 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．
解答技巧二：拆项
a＋bx＝9，∴a＋b＝2≥2ab，得ab≤1，∴f(ab)＝3≤3．
abt2－4t＋1【母题二】已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． tt2－4t＋11【解析】∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号． tt
【答案】－2
解答技巧三：凑项
【母题三】若x＞2，则函数y＝x＋【解析】∵x＞2，∴y＝(x－2)＋【答案】4 解答技巧四：凑系数 8【母题四】若0＜x＜，则函数y＝x(8－3x)的最大值为________． 311?3x＋8－3x?2164【解析】∵x＞2，∴y＝(3x)(8－3x)≤?＝，当且仅当x＝时取等号． ?3233?3?16【答案】 3【变式】
1的最小值为________． x－21＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时取等号． x－2x2＋2
1．函数y＝(x＞1)的最小值是( )
x－1
A．23＋2 C．23
B．23－2 D．2
＋3
＝
x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋x－
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．∴y＝＝＝
x－1x－1x－1x－
2
＋x－
x－1＋33＝x－1＋＋2≥2x－1
x－
?3?＋2＝23＋2．当且仅当x－1＝3，即?x－1?x－1??
x＝1＋3时，取等号．
【答案】A
2．当x＞1时，不等式x＋
1
≥a恒成立，则实数a的最大值为________． x－1
11＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．则x－1x－1
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又x＋
a≤3，所以a的最大值为3．
【答案】3