内容发布更新时间 : 2024/5/18 0:26:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

知 识 点 总 结 与 练 习

统计与统计案例

1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．

1． 随机抽样

(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．

(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．

系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． 1）编号：先将总体的N个个体编号；

NN

2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当n(n是样本容量)是整数时，取k＝n； 3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 分层抽样的步骤

1)分层：将总体按某种特征分成若干部分；

2)确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比； 3)确定各层应抽取的样本容量；

4)在每一层进行抽样(各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)，综合每层抽样，组成样本．

2． 常用的统计图表

(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×

频率

＝频率； 组距

②各小长方形的面积之和等于1；

频率1

③小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为.

组距组距(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 1 / 11

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将数据按大小依次排列，处在最中位数 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 1(2)方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

n标准差：s＝1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]. n

4． 变量的相关性与最小二乘法

(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．

(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝? (yi－a－bxi)2最小时，得

i＝1

^

^

^

n

到线性回归方程y＝bx＋a的方法叫做最小二乘法．

?? x－xy－y

i＝1?^b＝

n

?? x－x

i＝1

?^^

?a＝y－b x.

i

i

2

i

nn

?xiyi－n x

i＝1＝n

2

i－n x?x2

y

，i＝1

y2 b d b＋d

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

n

?

r＝

i＝1n

xi－xyi－yn

，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

yi－y

2

?

i＝1

xi－x

2

?

i＝1

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5． 独立性检验

对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

x1 x2 总计 2

y1 a c a＋c 总计 a＋b c＋d n n?ad－bc?2

则K＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量).

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

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考点一 抽样方法

例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后

在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为

( )

B．9

C．10

D．15

A．7 答案 C

960

解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]

32的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为

N

(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类n

题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．

(1)(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，

选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

( ) 7816 3204 A.08

B．07 6572 9234 C．02 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 D．01 (2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

答案 (1)D (2)37 20

解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.

(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n－3，所以第8组抽40

出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为×100＝20人．

200考点二 用样本估计总体

例2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组

距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是

( )

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