内容发布更新时间 : 2024/11/20 16:47:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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专题一 算术和数论

1. Integer (whole number): 整数

① Positive integer: 正整数，从 1 开始，不包括 0。 ② 奇数：不能被 2 整除的整数（可正可负），通式：2n+1。如-1，1。 ③ 偶数：能被 2 整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如-4，-2，0，2，4。

2. Odd & even number: 奇数与偶数

① 偶数＝偶数＋偶数 或 奇数＋奇数，偶数＝偶数×偶数 或 奇数×偶数 ② 奇数＝奇数＋偶数

③ 奇数个奇数相加减，结果为奇数 ④ 偶数个奇数相加减，结果为偶数 ⑤ 任意个偶数相加减，结果为偶数 ⑥ 若 n 个整数相乘结果为奇数，则这 n 个整数为奇数 ⑦ 若 n 个连续的整数相加等于零，则 n 为奇数。 ⑧ 若 n 个连续的奇数相加等于零，则 n 为偶数。 ⑨ 若 n 个连续的偶数相加等于零，则 n 为奇数。

⑩ 两个质数之和为奇数，其中必有一个是 2。

例：若 a2+b2=c2，其中 a, b, c 均为整数，下面那个不可能是 a+b+c 的值？ A.2 B.1 C.-2 D.4 E.6 【解析】因为 a2+b2=c2，如果 a,b,c 中有奇数存在，则必然为 2 个。所以 a+b+c 必为偶数，正 确答案选择 B。

3. Prime number & Composite number: 质数与合数

① 质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，不

能被其他 自然数整除的数。

② 合数指指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的数整除的数 ③ 2 是最小的质数、4 是最小的合数、1 既不是质数也不是合数。

4. Factor (divisor) & Prime factor: 因子和质因子

a) 一个数能被那些书整除，这些书就叫它的因子（因数、约数）。 b) 因子里的质数叫做质因子（数）。

*小技巧：⑴分解质因数：讲一个整数拆分成全部由质数表示，如36 = 22 + 32

⑵Ab（A 为质数）有(b+1)个因子：A0, A1 …… Ab ⑶如果 X=am·bn（分解质因数后），X 有(m+1)(n+1)个因子。

例 1：If n=4p, where p is a prime number greater than 2, how many different positive even

divisors does n have?

A.2 B.3 C.4 D.6 E.8 【解析】由 n=4p 可知 n 必为偶数；因为 p 是大于 2 的质数，所以 p 必为奇数。根据 n=22*p

www.zhan.com 可知 n 共有(2+1)*(1+1)=6 个因子，其中 1 和 p 为奇数，因此偶数因子共有 4 个。正确答案 为 C。

例 2：If the integer n has exactly three positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?

A.4 B.5 C.6 D.8 E.9 【解析】整数 n 有三个正数因子，可以推出 n 必定为完全平方数，且为一个质数的平方。因 此 n2 相当于一个质数的 4 次方，进而拥有 5 个因子。正确答案为 B。

例 3：What is the greatest prime factor of 2100-296?

A.2 B.3 C.5 D.7 E.11

【解析】2100-296=296*(24-1)=296*3*5, 因此正确答案为 C。 例 4：A positive integer n is said to be “prime-saturated” if the product of all the different positive prime factors of n is less than the square root of n. What is the greatest two-digit prime-saturated integer?

(A) 99 (B) 98 (C) 97 (D) 96 (E) 95 【解析】分解质因子后，发现 D 选项 96=25*3 的 质因子乘积为 6 小于 96 的平方根。正确答 案即为 D。

5. The greatest common divisor (GCD) & The least common multiple (LCM) 最大公约数和最

小公倍数 例：If M is the least common multiple of 90, 196 and 300, which of the following is not a factor of M?

A.600 b.700 C.900 D.2100 E.4900

【解析】由题可知 M=22*32*52*72，因此 M 的因子必然为 2、3、5、7 四个质数及其幂的组 合构成。A 选项中 600=23*31*52，其中 2 的 3 次方已经超过了 M 分解质因数后 2 所拥有的最 大次幂，所以 600 必然不是 M 的因子。因此正确答案选择 A。

6. Decimals & Fractions: 小数和分数

① 相关词汇：reaccuring decimal 循环小数; terminating decimal 有限小数; numerator 分

子; denominator 分母; improper fraction 假分数; mixed number 带分数 ② 整数位于分为：后面加 s 的是整数位（小数点前面的某位），加 th 或者 ths 的是分位

（小数点后面的某位），如：tens 是十位数，而 tenth 是十分位。 ③ What is the fractional part of … 意为“谁的几分之几”。 ④ 小树和分数的相互转换：分母中若含有 2 和 5 之外的因子，则分数可

转化为循环小 数；若分母只含有 2 和 5 这两个因子，则分数可转化为有限小数。

例 1：0.373737…=? (将其转换成分数)

【解析】设 X=0.373737…, 100X=37.373737…, 则 99X=37，得 X=37/99 例 2：Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?

A.10/189 B.15/196 C.16/225 D.25/144 E.39/128

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【解析】选项 E 中，分母 128=27，因而该分数可以转化成有限小数。

7. Consecutive numbers: 连续数

① 三个连续输的乘积必然被 3 整除。 ② 两个连续偶数的乘积必然被 8 整除

8. Divisibility & Remainder: 整除及余数问题

① 一个数是否能被 5 整除，只要看他的最后一位（是 0 或 5 就可以整除）。 ② 一个数是否能被 4 整除，只要看他的最后两位（是 4 的倍数就可以整除）。 ③ 一个数是否能被 8 整除，只要看他的最后三位（是 8 的倍数就可以整除）。 ④ 一个数能否被 3 整除，取决于各位之和能否被 3 整除。 ⑤ 一个数能否被 9 整除，取决于各位之和能否被 9 整除。 ⑥ 0 可以被所有数整除。 ⑦ 余数包括 0，如 24 除以 6，商为 4 余数为 0。 ⑧ 尾数问题：把握尾数循环即可。如：1912257 的个位数是 2，因为 257=4*64+1，而 25

尾数是 2。

9. 数论题目常用方法：

① 参数法； 例：两个两位数，个位和十位恰好颠倒，问下面那个不可能是两

数之和？ A.181 B.121 C.77 D.132 E.154

【解析】设两数分别为 ab 和 ba，则 ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b), 即和必为 11 的倍数，因此正确答案为 A。 ② 带值法；

③ 爱迪生试错法。