内容发布更新时间 : 2024/12/22 21:12:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第七节 对数与对数函数
[最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握1
对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一
2类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
x
1．对数的概念
如果a＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质： ①alogNxa＝N；②logaa＝b(a＞0，且a≠1)．
b(2)换底公式：
logcblogab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
logca(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图像与性质 定义 图像 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 nMNa＞1 0＜a＜1 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 定义域：(0，＋∞) 性质 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0； 1
当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数 4．反函数 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数 指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
[常用结论]
1．换底公式的两个重要结论
1nmn(1)loga b＝；(2)logab＝loga b.
logb am其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0. 2．对数函数的图像与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x＝2log2x.( )
1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
1－x2
x?1?(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，?，－1?，函
?a?
数图像不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．(log29)·(log34)＝( ) 1
A． 4C．2
1
B． 2D．4
lg 9lg 42lg 32lg 2
D [(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]
lg 2lg 3lg 2lg 311
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )
33A．a＞b＞c C．c＞b＞a
B．a＞c＞b D．c＞a＞b
2
1
D [因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.]
33．函数y＝
log
2x－1的定义域是________．
?1，1? ?2???
[由log (2x－1)≥0， 得0＜2x－1≤1. 1
∴＜x≤1. 2∴函数y＝
log
2x－1的
?1?定义域是?，1?.] ?2?
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________． (3,1) [当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图像恒过点(3,1)．]
考点1 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
11ab 1.设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )
abA．10 C．20
A [由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111则＋＝＋ ablog2mlog5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝10.]
B．10 D．100
3
?1?2．计算：?lg －lg 25?÷100＝________. ?4?
－20 [原式＝(lg 2－lg 5)×100＝lg?3．计算：
1－log63
2－2
2
?212?×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]
??2×5?
＋log62·log618
＝________.
log64log63
6
＋log6·log66×3
3
log64
2
1－2log63＋
1 [原式＝＝＝
1－2log63＋2
2
log63＋1－log64
log63
2
1－log63log66－log63log62
＝＝＝1.]
2log62log62log62
b4．已知log23＝a,3＝7，则log221的值为________． 2＋a＋abb [由题意3＝7，所以log3 7＝b.
2a＋ablog284log22×3×72＋log23＋log23·log37
所以log 221＝log84＝＝＝＝2
log263log23×72log23＋log23·log372＋a＋ab.]
2a＋ab 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．
考点2 对数函数的图像及应用 对数函数图像的识别及应用方法
(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 1?1? (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝x，y＝loga?x＋?(a＞0，且a≠1)
a?2?的图像可能是( )
A B C D
1x(2)当0＜x≤时，4＜logax，则a的取值范围是( )
2A.?0，2
??2?? 2?
B.?
?2?
，1? ?2?
C.(1，2) D.(2，2)
4
11?1?(1)D (2)B [(1)对于函数y＝loga?x＋?，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝22?2?1?1??1??1?loga?x＋?的图像恒过定点?，0?，排除选项A、C；函数y＝x与y＝loga?x＋?在各自定义
a?2??2??2?域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两1?1??1??1?个函数在?0，?上的图像，可知f??＜g??，即2＜loga， 2?2??2??2?
则a＞
2
， 2
x所以a的取值范围为?[母题探究]
?2?
，1?.] ?2?
?1?2
1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x－logax＜0对x∈?0，?恒成立，求实数a的
?2?
取值范围．
?1?222
[解] 由x－logax＜0得x＜logax，设f1(x)＝x，f2(x)＝logax，要使x∈?0，?时，
?2??1?22
不等式x＜logax恒成立，只需f1(x)＝x在?0，?上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即
?2?
可．当a＞1时，显然不成立；
当0＜a＜1时，如图所示．
?1??1?2
要使x＜logax在x∈?0，?上恒成立，需f1??≤
?2??2?
f2??，所以有??2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.
22
?1????1???
12116116
?1?即实数a的取值范围是?，1?. ?16?
1
2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤时，x＜logax，求实数a的取值范围．
4
?1?[解] 若x＜logax在x∈?0，?成立，则0＜a＜1，且y＝x的图像在y＝logax图像?4?
的下方，如图所示，
0＜a＜1，??11
＜loga，所以?1144a＞，??24
由图像知
解得
1
＜a＜1. 16
?1?即实数a的取值范围是?，1?. ?16?
5