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数学建模集训讲义

§１ 数学模型的概念和分类

1.1原型和模型

原型（原始参照物，Prototype）是指人们在现实世界里关心、．．

研究或者从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统或过程．如电力系统、通信系统、机械系统、生态系统、生命系统、经济系统、管理系统、钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等．

模型(Model)是指人们为了某个特定目的，将原型所具有本．．

质属性的某一部分信息进行适当的简化、提炼而构造的一种原型替代物．如建筑物模型、飞机模型、水坝模型、人造卫星模型、大型水电站模型，这些模型都是实物模型；也有用文字、符号、．．．．图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的抽象．．模型，如模拟模型、数学模型等． ．．

模型不是原型原封不动的复制品，它既简单于原型，又高于原型．原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反应与某种目的有关的那些方面和层次的特征．

例如，一个城市的交通图是该城市（原型）的模型，看模型比看原型清楚得多，此时，城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状等都不重要．但是，城市的街道、交通线路和各单位的位置等信息都一目了然．

对同一个原型，为了不同的目的，可以建立多种不同的模型．

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比如，作为玩具的飞机模型，在外形上与飞机相似，但不会飞；而参加航模竞赛的模型飞机就必须能够飞行，对外观则不必苛求；对于供飞机设计、研制用的飞机数学模型，则主要是在数量规律上要反映飞机的飞行动态特征，而不涉及飞机的实体．

又如，为了制定某大型企业的生产管理计划，模型就必须反映产品的产量、销售量和库存原料量等变化情况，不必反映各生产装置的动态特性；相反，为了实现各生产装置的最佳运行，模型就必须详细地描述各装置内部状态变化的生产过程动态特性。

模型可以分为实物模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型．对我们来说，最感兴趣的是数学模型．

??直观模型:玩具，照片???实物模型?物理模型:风洞中的飞机模型,?? 地震模拟装置?????思维模型:汽车司机???模型???对方向盘的操纵,某??模拟模型?些领导凭经验作决策??抽象模型????符号模型:地图,???????电路图,化学结构式???数学模型??

1.2 数学模型(Mathematical Model) 的概念

广义地说，数学本身就是刻画现实世界的模型．数学的研究既不像物理学、化学、生物学那样以自然界的具体运动形态为对

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象，也不像经济学、社会学、政治学那样以社会的具体运动形态为对象．数学研究的是形式化、数量化的思想材料．思想只能来源于现实世界，但不是原原本本复制现实世界（原型），需要经过一定的加工、抽象．也就是说，在现实世界中大量的数学问题往往并不是自然地以现成数学问题的形式出现．首先，我们需要对要解决的实际问题进行分析研究，经过简化、提炼、归结为一个能够求解的数学问题，即建立该问题的数学模型．这是运用数学的理论与方法解决问题关键的第一步，然后，才能应用数学理论、方法进行分析和求解，进而为解决现实问题提供数量支持与指导．由此可见数学建模的重要性．

现实世界的问题往往比较复杂，在从实际中抽象出数学问题的过程中，我们必须抓住主要因素，忽略一些次要因素，作出必．．．．．．．．．．．．．．．要的简化，使抽象所得的数学问题能用适当的方法进行求解．

例如火箭在作短程飞行时，要研究其运动轨迹，可以不考虑地球自转的影响，但若火箭作洲际飞行，就要考虑地球自转的影响了．又比如同是一次火箭飞行实验，在研究其射程时可不考虑某些段空气阻力的影响，但在研究其命中精度时就必须考虑这些因素。

以解决某个现实问题为目的，经过分析简化，从中抽象、归纳出来的数学问题就是该问题的数学模型，这个过程称为数学建模(Mathematical Modelling)．

一般地说，数学模型可以这样来描述：对于现实世界的一个

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