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2016考研数学（一）真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分

???a1x?1?x?b0dx收敛，则（ ）

?A?a?1且b?1?B?a?1且b?1?C?a?1且a?b?1?D?a?1且a?b?1??2?x?1?,x?1（2）已知函数f?x???，则f?x?的一个原函数是（ ）

??lnx,x?12???x?1?,x?1?A?F?x?????x?lnx?1?,x?12???x?1?,x?1?B?F?x?????x?lnx?1??1,x?1

22????x?1?,x?1??x?1?,x?1?C?F?x????D?F?x??????x?lnx?1??1,x?1?x?lnx?1??1,x?1

（3）若y?1?x2??2?1?x2,y??1?x2??1?x2是微分方程y??p?x?y?q?x?的两

2个解，则q?x??（ ）

?A?3x?1?x2??B??3x?1?x2??C?x1?x2?D??x1?x2

?x,x?0?（4）已知函数f?x???111,?x?,n?1,2,?n?nn?1，则（ ）

（A）x?0是f?x?的第一类间断点 （B）x?0是f?x?的第二类间断点 （C）f?x?在x?0处连续但不可导 （D）f?x?在x?0处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）A?A与B?B相似 （D）A?A与B?B相似

（6）设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f?x1x,2x,3222TT?1?1TT?1?12??在

空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）

（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面

（7）设随机变量X~N??,?????0?，记p?P?X?????，则（ ）

22（A）p随着?的增加而增加 （B）（C）p随着?的增加而减少 （D）p随着?的增加而增加 p随着?的增加而减少

1，将3（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为

试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

tln?1?tsint?dt??__________（9）lim0x?0x1?cosx2

（10）向量场A?x,y,z???x?y?z?i?xyj?zk的旋度rotA?_________

（11）设函数f?u,v?可微，z?z?x,y?由方程?x?1?z?y?xf?x?z,y?确定，则

22dz?0,1??_________

（12）设函数f?x??arctanx?x，且f''?0??1，则a?________ 21?ax??100??1（13）行列式

00?43200?____________. ?1??12（14）设x1,x2,...,xn为来自总体N?,?的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?的

??置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域D???r,??2?r?2?1?cos??,????2??????，

2?计算二重积分

??xdxdy.

D'''（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y?2y?ky?0,其中0?k?1.

???证明：反常积分?0??y(x)dx收敛；

????若y(0)?1,y(0)?1,求?0'??y(x)dx的值.

（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足

?f(x,y)?(2x?1)e2x?y,且f(0,y)?y?1,Lt?x是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分I(t)??f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并?Lt?x?y求I(t)的最小值

（18）设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分I????x?2?1dydz?2ydzdx?3zdxdy

?（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)?1，0?f'(x)?满足xn?1?f(xn)(n?1,2...)，证明： （I）级数

1，设数列?xn?2?(xn?1?n?1?xn)绝对收敛；

（II）limxn存在，且0?limxn?2.

n??n???1?1?1??2???a1?,B??1（20）（本题满分11分）设矩阵A??2??11a???a?1???当a为何值时，方程AX?B无解、有唯一解、有无穷多解？

2??a? ?2???0?11???（21）（本题满分11分）已知矩阵A??2?30?

?000???（I）求A

（II）设3阶矩阵B?(?,?2,?3)满足B?BA，记B100?(?1,?2,?3)将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?上服从均匀分布，令

299??x,y?0?x?1,x2?y?x??1,X?YU??

?0,X?Y