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2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析

一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

?(1) 当x?0时，与x等价的无穷小量是

(A) 1?ex. (B) ln1?x. (C) 1?x?1. (D) 1?cosx. [ B ]

1?x【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x；1?x?1~1x； 21?cosx~1x11(x)2?x. 利用排除法知应选(B). 22在[??,?]上的第一类间断点是x =

(2) 函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1x(A) 0. (B) 1. (C) ???. (D) . [ A ] 22【分析】 本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其

类型。

【详解】 f(x)在[??,?]上的无定义点，即间断点为x =0,1,??2.

又 lim?x?0(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0tanxe?e?1?1?(?1)??1， xex?etanxe?e?1?1?1?1， xex?e1x1xx?0lim?(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).

(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是

?x0f(t)dt.35F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]

44(A) F(3)??【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)?F(3)是两个半圆面积之差：F(3)?1?， 23113[??12???()2]??=F(2)，

422803?30F(?3)???30f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)

因此应选(C).

(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C) 若lim存在，则f?(0)存在. (D) 若lim存在，则f?(0)存在

x?0x?0xx(A) 若lim[ D ]

【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算

等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)存在，则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0，可见(C)也正确，

x?0x?0xx?0x故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)?x在x=0处连续，且

limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导. =limx?0xx (5) 曲线y?1?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??，所以x?0为垂直渐近线；

x?01xx又 lim[?ln(1?e)]?0，所以y=0为水平渐近线；

x???1xxy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limxx???xx???xx???x???xx1?e lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???x???1xxxx????x =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0，

x???x???x?x于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

(6) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是

(A) 若u1?u2，则{un}必收敛. (B) 若u1?u2，则{un}必发散.

(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (D) 若u1?u2，则{un}必发散. [ D ]

【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。

2【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但

{un}?{n2}发散，排除(C); 设f(x)=

1, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且x1f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{}收敛，排除(B); 又若设f(x)??lnx，则f(x)在(0,??)上

n具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{?lnn}发散，排除(A). 故应选(D).

(7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)

(x,y)?(0,0)lim[f(x,y)?f(0,0)]?0.

f(0,y)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)?0. ?0，且limy?0yx (B) limx?0(C)

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.

(D) lim[fx?(x,0)?fx?(0,0)]?0，且lim[fy?(0,y)?fy?(0,0)]?0. [ C ]

x?0y?0【详解】 选项(A)相当于已知f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，因此(A),(B)均不能保证f(x, y)在点(0，0)处可微。

选项(D)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx?(x,y),fy?(x,y)在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x, y)在点(0，0) 处可微。

若

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0，则

f(x,0)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)x2lim?lim??0，即fx?(0,0)?0,同理有

22x?0x?0xxx?0fy?(0,0)?0.

[f(?x?,y?)f从而 lim??0?(0,?0)fx]?(?(x0?,f0y)?y(0,0)

)??lim = lim??0f(?x,?y)?f(0,0)f(?x,?y)?f(0,0)(?x)?(?y)22?(?x,?y)?0=0

根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C).