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传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题

§3 — 3 一维非稳态导热的分析解

本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度 >> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

一、 无限大平板的分析解 已知：厚度

的无限大平板，初温 t0，初始瞬间将其放于温度为

的流体中，而且

>

t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图 3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。 对

于 x 0 的半块平板，其导热微分方程： 定解条件：t(x,0)= t0(0

x

)

(0

（边界条件）

（边界条件）

引入过余温度：

则 (x,0)=

(0

（ 0

, ） (3-9)

) （初始条件）

（边界条件）

（边界条件）

对偏微分方程 分离变量求解得：

（ 3-10 ）

其中离散值 是下列超越方程的根，称为特征值。

其中 Bi 是以特征长度为

由此可见：平板中的无量纲过余温度

的毕渥数。

与三个无量纲数有关：以平板厚度一半

为特

征长度的傅立叶数、毕渥数及 即：（ 3-12)

二、非稳态导热的正规状况阶段

1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系

前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当 Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于 1% ，因此，当 Fo>0.2

时，采用以下简化结果： 其中特征值

（ 3-13 ） 之值与 Bi 有关。

(x ， τ) 与平板中心的

由上式（ 3-13 ）可知： Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度

过余温度 (0 ， τ)= （ τ ）之比为：（ 3-14 ）

(x ， τ)

此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当 Fo>0.2 以后，虽然 与

（ τ ）各自均与 τ 有关，但其比值则与 τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边

界条件（ Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要

Fo>0.2 ， 之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的

由此可见，当 Fo>0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。 2 、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量

1 ） 从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热量：

（ 3-15 ）

此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。

2 ） 从初始时刻到某一时间 τ ，这段时间内所传递的热量

（ 3-16 ）

：

3 ） 之比：

(3-17)

其中： 是时刻 τ 物体的平均过余温度， 。

的定义式，可得：

对于无限大平板，当 Fo>0.2 ，将式（ 3-13 ）代入

（ 3-18 ）

对圆柱体、球体 及

可表示为：

>0.2 时，无穷级数的解也可用第一项近似代替，并且

（ 3-19 ）

（ 3-30 ）