内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:17:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数

1

解 近似值x=3.14＝0.314×10,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有

由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.

?31.3 ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是多少？

x?x?0.0015926??0.5?10?1?3.

解 精确到10＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005,

故至少要保留小数点后三位才可以.ln2?0.693 2.1 用二分法求方程x3即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

x?x???.??????????.??????? 1?x?1?0在?1, 2?的近似根，要求误差不超过?10?3至少要二分多少？

2－

3即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

x?x???.??????????.???????

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00

解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101

, m=1

绝对误差限：x?x??x?0.20004?0.000049?0.5?10?4 m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字

x1=2，相对误差限?1?10?(n?1)?1r??101?52?x?0.000025 12?2（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2

, m=-2

x?x??x?(?0.00200)?0.0000049?0.5?10?5

m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字

x1=2，相对误差限?1r?2?2?101?3=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104

, m=4，

x?x??x?9000?0.49?0.5?100

m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字

?11?4r?2?9?10＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104

, m=4，

x?x??x?9000.00?0.0049?0.5?10?2

m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字 相对误差限为?r?1?101?62?9＝0.000 00056

解：给定误差限?＝0.5×10，使用二分法时，误差限为

x*?xk?112k?1(b?a) 只要取k满足2(b?a)??即可，亦即 k?1k?lg(b?a)?lg??lg0.5?3lg2?1?lg10lg2?1?9.96678

只要取n＝10.

2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过

0.5×10-4

的根要二分多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又 f ?(x)=-1－cosx<0 (x?[0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间

[0，1]内有唯一实根.

给定误差限?＝0.5×10－

4，使用二分法时，误差限为

x*?x1k?12k?1(b?a) 只要取k满足2k?1(b?a)??即可，亦即

k?lg(b?a)?lg??lg0.5?4lg2?1?lg10lg2?1?13.2877

只要取n＝14.

2.4 方程x3?x2?1?0在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代

公式：

（1）x?1?1，迭代公式1 （2）x2xk?1?1?x2x3?1?x2，迭代公式xk?1?31?x2k k（3）x2?1x?1，迭代公式x1k?1?x （4）

x?x3?1，迭代公式xk?1?x3k?1k?1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令

f(x)?1?1x2，则f?(x)??2x3，由于

21??0.59?1，因而迭代收敛。 x31.532?22x23 （2）令f(x)?1?x，则f?(x)?(1?x)3，由于

f?(x)??12?C?0时，迭代收敛。

（2）当??(x)?0时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即

3f?(x)?2?1.533(1?1.52)2?0.34?1

迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。

（3）令f(x)?1x?1，则f?(x)??1，由于 2(x?1)3f?(x)??12(1.5?1)?1

3迭代发散。 （4）令

f(x)?x3?1，则f?(x)?x2(x3?1)?12，由于

f?(x)?x2.52

x3?1?11.53?1?1迭代发散。

具体计算时选第二种迭代格式，

x31?x2k?1?k n=0,1,… 计算结果如下：

x0?1.5,x1?1.481248,x2?1.4727057 x3?1.4688173,x4?1.4670480,x5?1.466243 x6?1.4658768x7?1.4657102,x8?1.4656344 x9?1.4656000 x?x198?2?10?4,x9?1.4656000

2.5 对于迭代函数?(x)?x?C(x2?2)，试讨论：

（1） 当C取何值时，xk?1??(xk),(k?0,1,2,?)产生的序列?xk?收敛于2；（2） C取何值时收敛速度最快？

解：（1）?(x)?x?C(x2?2)，??(x)?1?2Cx，由已知条件知，当

??(2)?1?2C2?1，即

??(2)?1?2C2?0，所以C??1时收敛最快。

222.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：

(1)

??c不使用除法运算； (2) c不使用开方和除法运算. 解：（1）令1x?c，取f(x)?1x?c,f?(x)??1，则

x21x?cx?x??2x?cx2

?1x2迭代格式为 xk?1?2xk?cx2k

注：若令x?1c，取f(x)?x?1c,f?(x)?1，则 x?1x?x?c1?x，显然迭代格式不法不符合题意。

（2） 令

1x2?c，取f(x)?c?1x2,f?(x)?2，则

x3c?1x?x?x22?32x?c2x3?(32?c2x2)x

x3迭代格式 x3c2k?1?(2?2xk)xk

2.10 设

f(x)?(x3?a)2。

（1） 写出解f(x)?0的Newton迭代格式。

（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。

解：因

f(x)?(x3?a)2，故f?(x)?6x2(x3?a)，由Newton迭代公式：

回代求解得x3?1,x2??1,x1?0

xf(xn)n?1?xn?f?(x),n?0,1,?

n得

x?x(x3n?a)25xnan?1n?6x23??6x2n?0,1,?

n(xn?a)6,n以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数?(x)??5xa56?6x??(x)??6?a2,而3x?3,又x*?3a,则??(3a)??56?a3(3a)?3?5116?3?2?0

故此迭代格式是线性收敛的。

第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答

（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组

???3x1?2x2?6x3?4?10x?1?7x2?7 ?5x1?x2?5x3?6解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去x1，得

??????10?70???1?0?106???x1??617???? ?x2???5?????x??10?3???5??025?????2??第二步列选主元

52，将第二和第三行交换，再消去x2，得

??????10?70??055??x??1??7?x??5??2???? ?2???x??2?????00313??315?????5??

3.3 用高斯-约当法求逆矩阵

?123?A???212?

???134??解：??123100??212010? ??134001??? ??212010?列选主 ?123100?

??134001?????10.5100.50?消元 ?01.521?0.50???02.530?0.51????10.5100.50?列选主 ??02.530?0.51???01.521?0.50????100.406?0.2?消元 ??011.20?0.20.4???000.21?0.2?0.6????100?211?消元 ??010?614? ??0015?1?3?????211?则 A?1????614? ?5?1?3????3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组

??2x1?x2?x3??1?4x 1?x2?3x3?7??6x1?9x2?x3??3解 设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即