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课时提升作业 十
一般形式的柯西不等式
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, ax+by+cz=20,则
= ( )
A. B. C. D. 【解析】选C.由已知得
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2, 结合柯西不等式,知===,所以
=.
2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是
( )
A.9 B.10 C.14 D.15 【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+(
)2+(
)2]·[(3x)2+(2
y)2+(
z)2]
=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立. 故u=3x+6y+5z的最大值为9. 3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+值范围是 ( )
A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1
c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取
C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3 【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+所以a+b+
c≤2,又因为a+b+
c≤|x+1|,
c)2,
c≤|x+1|的结构形式,可以联想
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3. 二、填空题(每小题4分,共8分)
4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______. 【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1) ≥(2x+2y+z-1)2=81,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9. 答案:9
5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)【解析】(a+b+c)[(
)2+(
)2+(
)2]
=
≥
的最小值是________.
=(2+3+6)2=121.
当且仅当==时等号成立. 答案:121 三、解答题
6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.
+
的
【证明】因为f(x)=即函数f(x)=所以p+q+r=3. 由柯西不等式得
+
+≥的最小值a=3.
=3,
(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9, 于是p2+q2+r2≥3.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( ) A. B. C.6 D.3 【解析】选B.由柯西不等式,得 (12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1. 即x2+y2+(1-x-y)2≥. 当且仅当x=y=1-x-y.
即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值. 【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(当且仅当==…=时,等号成立. 所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1.
+
+…+
)×(
+
+…+
)=1×1.
+
+…+
=1,
+
+…+
=1,则