内容发布更新时间 : 2024/12/22 16:41:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

方向导数与梯度：

?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i?j?x?y???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l多元函数的极值及其求法： 设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???重积分及其应用： ??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z?f(x,y)的面积A???D??z???z?1???????y??dxdy?x????22平面薄片的重心：x?Mx?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD,　　y?MyM???y?(x,y)d?D???(x,y)d?DD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?(x?y?a)2222，　　Fy?f??3D?(x,y)yd?(x?y?a)2222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?(x?y?a)22322柱面坐标和球面坐标：

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?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)r??2sin?drd?d???d??d?00?F(r,?,?)r02sin?dr重心：x?1M???x?dv,　　y???1M???y?dv,　　z???1M???z?dv，　　其中M?x?????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv曲线积分： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)?? 12

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：?y??(t)???P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??Pdx?Qdy??????x?y?x?yDLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?yu(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。 曲面积分： 22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy?????Dxy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：?号；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正?Dxy号；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正?Dyz??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式：

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???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv???Ands?????斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?cos???yQcos???zR dydzdzdxdxdycos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??A?tds??常数项级数： 1?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n 等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n2n?1级数审敛法： 14

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：??un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛： (1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1　　级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1　　p级数：?np　　p?1时收敛幂级数 15