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内容发布更新时间 : 2024/5/30 14:51:08星期一下面是文章的全部内容请认真阅读。

?2x1?x2?x3?x4?1??3x1?2x2?x3?3x4?4 ?x?4x?3x?5x??2234?1116?x?x?x??173747答案：化为同解方程组?

595?x2?x3?x4??777??1??1??6??7???7??7????9??5?5??通解为x?k1???k2?????? 7?7??7??1??0??0????1??0???????0??5．已知线性方程组

x1?x2?2x3?3x4?1

x1?2x2?3x3?x4??4 3x1?x2?x3?2x4??4 2x1?3x2?x3?x4??6

（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4 （2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1

第三次

向量的线性关系填空题

1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1 ,b= 3 .

2．已知向量?1=（1，2，3），?2=（3，2，1），则3?1+2?2= （9，10，11），?1-?2= （-2，0，2）．

3．设向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组?1，?1+?2，?1+?2+?3线

性无关．

4．设向量a1,a2,a3线性无关，则a1,a2,2a3线性无关。

5．设向量a1,a2,a3线性无关，则向量a1,a2,a3,0线性相关． 6. ?1,?2,?3,?4 是3维向量组,则?1,?2,?3,?4线性相关. 7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.

线性关系部分证明题

1 证明：如果向量组?,?,?线性无关，则向量组???,???,???亦线性无关．

证明：设有一组数k1,k2,k3，使

k1(???)?k2(???)?k3(???)?0 成立，整理得

(k1?k3)??(k1?k2)??(k2?k3)??0 由于?,?,?线性无关，所以

?k1?k3?0??k1?k2?0 ?k?k?03?2101因为其系数行列式110?2?0，所以方程组只有零

011解，即k1?k2?k3?0．向量组???,???,???线性无关得证． 2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，

α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与

向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？

答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有

λ1，λ2，…，λr，使

β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0 ①

又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线性表示。由式①有

?r???1??1?1?2?2???r?1?r?1??, ?r?r?r?r即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。

3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2

α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？

答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。所以以下只证

α1+α2，2α1－α2线性无关。设有一组数λ1，λ2，使得

λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，

即（λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0，因α1，α2线性无关，故

??1?2?2?0, ?????0.2?1而

121?1??3?0,

所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基础解系。 4．已知?1?(1,0,?1),?2?(?2,2,0),?3?(3,?5,2)，判定此向量组是线性