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《数学建模》作业

学号 姓名 工作量 100 % 专业 所属学院 指导教师

二〇一七年六月

数学建模作业

第一部分：请在以下两题中任选一题完成（20 分）。

1、（马王堆一号墓入葬年代的测定建模问题）湖南省长沙市马王

堆一号墓于 1972 年 8 月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳-14 平均原子蜕变数为 29.78 次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳-14（C-14）原子蜕变数为 38.37 次/分钟. 又知碳-14 的半衰期为 5730 年，试推断该一号墓入葬的大致年代。

问题分析：放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：

（1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变，从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；

（2）碳—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳—14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；

（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14，从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。

模型建立

设t时刻生物体中碳—14的含量为x（t），放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为T，生物体死亡时间为t0，则由放射性物质衰变规律得数学模型

?dx????x, ① ?dt?x(t)?x,0?0 其中??0称为衰变系数，由放射性物质所决定，x0为生物体在死亡时刻t0时的碳—14含量。 模型求解

对所得的一阶线性微分方程模型①采用同变量分离法求解，得 x(t)?x0e??(t?0)t??

由于t?t0?T时，有

x(t)?x(t0?T)?x0?? 代入上式，有 ?e?2T,??所以得 ? x(t)?x0e?ln2(t?t0)T1212ln2????? T ②

这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得 t?t0?Tx(t)ln0 ③ ln2x(t)将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以

T=5730,

x0?38.37(新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，