内容发布更新时间 : 2024/12/23 3:29:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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k?1?1?解 X的取值为1，2，3，… 且P(X?k)????4??33?, k?1,2,3,?. 44k 此即为X的分布列。
3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。 解 X的分布列为
X P 1 2 3 111 623?0, x?1?1?, 1?x?2? 由分布函数的计算公式得X的分布函数为 F(x)??6
2?, 2?x?3?3?1, x?3?4. 设随机变量X的分布律为P(X?k)?k k?1,2,3,4,5。 1515 求 (1) P(?X?), (2) P(1?x?3), (3) P(X?3).
2215121解(1) P(?X?)?P(X?1)?P(X?2)???,
2215155(2) P(1?x?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?453(3) P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)??? .151551232???,1515155
?k5. （1）设随机变量X的分布律为P(X?k)?a k?1,2,?; ??0为常数，
k!试确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且P(Y?N)与N2成反比，求Y的分布律。
解 （1）因为 ?P(X?k)?1,及?k?1k?1???kk!?e??1, ??0，所以a?1. ?e?1（2）令P(Y?N)?a6k N?1,2,?; 类似上题可得 k?2。 2?N所以Y的分布律为 P(Y?N)?6,?2N2N?1,2,?
6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布
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解X=0, 1, 2, 3, Ai=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3. P(X?0)?P(A1)=
111, P(X?1)=P（A1A2）?2? 2421111，=P(X?3)?P（AAA）?? 123238238P(X?2)P（A1A2A3）?X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8
为所求概率分布
7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X的概率分布律. 解 设 Ai?\第i次出现6点\, P(Ai)?11, i?1,2,?,361111所以 X的概率分布为 P(X?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)?(1?)k?1?, k?1,2,?3636
四、证明题
试证明： 设F1(x)和F2(x)都是分布函数，又a?0, b?0, 是两个常数，且a?b?1，F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数.
（（?0?F1x)?1, 0?aF1x)?a 解（）因为1 ??0?aF（（; 1x)?bF2x)?a?b?1（0?bF（?0?F2x)?1,2x)?b（x)?aF（?aF1x2) (2) ?x1?x2, 有?11（（?bF2x1)?bF2x2) ?F(x1)?aF（（（（1x1)?bF2x1)?aF2x2)?bF1x2)?F(x2),所以F(x)是不减函数. （3） limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?b?1x???x???x???x??? limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?0?b?0?0x???x???x???x???(4)F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)由于F(x)满足分布函数的四个性质，所以F(x)是分布函数.
§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数
三、计算下列各题
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?x, 0?x?1?1. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??2?x, 1?x?2；求X的分布函数。
?0, 其它?解 F(x)??x???0, x?0?2?x, 0?x?1?2 f(x)dx ， F(x)??2x?2x??1, 1?x?2?2??1, x?2?1?(1?x)e?x, x?02. 设随机变量X的分布函数为F(x)??；求
0, x?0?(1) P(X?1); (2) X的密度函数。
解(1) P(X?1)?F(??)?F(1)?1?(1?2e?1)?2e?1; ?xe?x, x?0(2) f(x)?F?(x)??
0, x?0??4x3, 0?x?13. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??；
?0, 其它（1）求常数a，使P(X?a)?P(X?a)； （2）求常数b，使P(X?b)?0.05。 解 （1）因为 P(X?a)?P(X?a)，所以1?P(X?a)?P(X?a),故
P(X?a)??4x3dx?a4?0a11,所以a?4。 2219,20（2）因为 P(X?b)?0.05,1?P(X?b)?0.05,P(X?b)?b4?
所以b4?19,即b?40.95?0.9872 204. 在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。
解 当0?x?R时，设OP?x，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此
P(X?x)?VOPVOR43?33?xx?x?????3???，所以，X的分布函数为F(x)????, 0?x?R 4R??R??R3??3?1, x?R?0, x?0?.
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?3x2, 0?x?R?X的密度函数为 f(x)?F?(x)??R3
?0, x?0,x?R?5. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,–∞ B, (2) P (–1 1???A?A?B?0??F(??)?0???2 2解 （ 1） ?????,1F(??)?1???A?B?1?B????2??11111 (2) P(?1?x?1)?F(1)?F(?1)?(?arctan1)?(?arctan(?1))?,2?2?2 1 (3) f(x)?F?(x)?,???x????(1?x2) 0?x?1?2x，??6. 设随机变量X的概率密度为f（x）, 以Y表示对X进行三次独立观0, 其它?察中{X≤ 1}出现的次数,求概率P(Y=2). 211 111解p = P (X≤)=?2f（x）dx??22xdx?, 由已知 Y~B(3, ) ?? 042492123所以 P（Y?2） ?C（）?344647. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从N(50,100)；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从N(60,16)，问 （1）要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2）要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 P(X1?70)??(70?5070?60)?0.9772,P(X2?70)??()?0.9938. 104所以走第二条。 （2）类似的走第一条。 §2.4 随机变量函数的分布 三、计算下列各题 1. 设随机变量X的分布律如下，求Y?X2?1的分布律。 X -2 -1 0 1 2 .