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2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值 【答案】C

【解析】注意f/(x)?exg(x)，答案C．

2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）

A．a?1,b?2,c?Z

B．A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinB C．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?600 D．a?3,b?1,A?600 【答案】AD．

3．已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线

B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点 D．f(x),g(x)有且只有两个交点

2

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【答案】BD

【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．

4．过抛物线y2?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（ ）

A．以线段AB为直径的圆与直线x??B．|AB|的最小值为4 C．|AB|的最小值为2

D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 【答案】AB

3一定相离 211(|AF|?|BF|)?|AB|，于是以线223段AB为直径的圆与直线x??1一定相切，进而与直线x??一定相离；对于选项B，C，

211122?2，最小值为4．也可将|AB|转设A(4a,4a)，则B(2,?)，于是|AB|?4a?4aa4a2【解析】对于选项A，点M到准线x??1的距离为

化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然BD中点的横坐标与

1|BM|不一定相等，因此命题错误． 2x2y25．已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说

ab法中正确的有（ ） A．a?B．a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个

C．?PF1F2的周长小于4a

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a2D．?PF 1F2的面积小于等于

2【答案】ABCD．

【解析】对于选项A，B，椭圆中使得?F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，

?F1PF2的周长为2a?2c?4a；选项

2D，

?F1PF2的面积为

11?|PF121|?|PF2|?|PF|?|PF|si?FnPF??a． ??121222?22?6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲 【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．

7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（ ） A．O,M,B,P四点共圆 C．A,O,P,N四点共圆

B．A,M,B,N四点共圆 D．以上三个说法均不对

B．乙

C．丙

D．丁

【答案】AC

【解析】对于选项A，?OBM??OAM??OPM即得；对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有?MAN为直角，不符合题意；对于选项C，?MBN??MOP??MAN即得．答案：AC．

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