内容发布更新时间 : 2024/6/28 18:33:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、选择题 、填空题

1、 掌握有效数字、绝对误差和相对误差的关系

设x为准确值，x*为x的一个近似值，则

绝对误差：e*?x*?x 误差限：?*?e*?x*?x

e*相对误差：

x?x*?xx* 相对误差限：?r??*x*.

定理 设近似数x*表示为

x*??10?(a1?a2?10m?1???al?10?(l?1)),

*其中ai(i?1,2,?,l)是0到9中的一个数字，a1?0,m为整数.若x具有n位有效数字，

则其相对误差限为 ?*r?12a1?101?(n?1);

反之，若x*的相对误差限?r*?2(a1?1)?10?(n?1);则x至少具有n位有效数字.

*例 要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，需取几位有效数字？ 解：设取n位有效数字，由定理1， ?r?由于

*12a1?10?(n?1) .20?4.4,?,知a1?4,故只要取n?4，就有

?r?0.125?10*?3?10?3?0.1%,

即只要对20的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%，此时有开方表得

20?4.472.

n2、 拉格朗日插值基函数的特点 （基函数的和是1，即?li(x)?1）

i?03、 向量范数的概念

nn定义 （向量的范数）如果向量x?R(或C)的某个实值函数N(x)?x，满足条件：

1. x?0 (x?0当且仅当x?0) (正定条件)，2. ?x???x , ???R(或??C)，3. x?y?x?y (三角不等式)，

则称N(x)是R（或C）上的一个向量范数（或模）.

1

nn

由条件3可以推出4.x?y?x?y.

几种常用的向量范数：

1. 向量的?-范数（最大范数）：x??maxxni.

1?i?n2. 向量的1-范数：x1??xi.

i?11n13. 向量的2-范数：x2222?(x,x)?(?xi).也称为向量x的欧氏范数.

i?1n4. 向量的p-范数：xp1/pp?(?xi),其中p?[1,?)

i?1例 计算向量x?(1,?2,3)T的各种范数. 解：x1?6，x??3，x2?14

4、 矩阵范数的概念

定义 （矩阵的范数）如果矩阵A?Rn?n的某个非负的实值函数N(A)?A，满足条件：1. A?0(A?0当且仅当A?0) (正定条件)；2. cA?c?A,c为实数（齐次条件）；3. A?B?A?B (三角不等式)；

4. AB?AB.则称N(A)是Rn?n上的一个矩阵范数（或模）. 定理 设x?Rn，A?Rn?n，则

n 1. A??max1?i?n?aij (称为A的行范数），j?1n 2. A1?maxa1?j?n?ij (称为A的列范数) ，i?1

3. AT2??max(AA) (称为A的2-范数) , 其中?T示ATmax(AA)表A的最大特征值.例 设A??1?2????34?.计算A的各种范数. ?解：A1?max{1??3,?2?4}?6,

2

AAA??max{1??2,??22?3?4}?7,22F1?(?2)?(?3)?4?5.477,221?5.46.

2?max(AA)?T15?5、 高斯求积公式的代数精度 P116

6、 线性方程组 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要条件 P146

例题：

1、已知a=3.201，b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a?b有 2 位有效数字，a+b有 2 位有效数字。 解析：

?(ab)= ?(a)+ ?(b)=

0.00053.201+0.0050.57?0.009

,

?(ab)= ?(ab)×ab＝0.009×3.201×0.57≈0.016<0.05 ?(a+b)= ?(a)+ ?(b)=0.0005+0.005=0.0055<0.05

2、当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，则f(x)的拉

格朗日插值多项式是 。 解析：

l(x)?(x?0)(x?4)(?1?0)(?1?4)12?0?12(x?1)(x?4)(0?1)(0?4)x(x?1)?2?(x?1)(x?0)(4?1)(4?0)?10

??(x?1)(x?4)??23、设有矩阵A???0?3??，则‖A‖1＝_______。 4?解析：||A||1=max{2+0,3+4}=7

4、要使20?4.472135...的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取 3 位有效数字。 解析：

?(20)20?0.2%,?(20)?20?0.2%?0.009?0.005

5、已知数x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的

有效数字的位数应分别为( A )。

A. 3，3，3，1 B. 3，3，3，3 C. 3，3，1，1 D. 3，3，3，2

6、线性方程组 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要条件是（D ）。

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