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第一章 命题逻辑

习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。 ⑵x取值不确定，所以不是命题。 ⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑸是命题，真值由具体情况确定。 ⑹是命题，真值由具体情况确定。 ⑺是真命题。

⑻是悖论，所以不是命题。 ⑼是假命题。

2．解 ⑴是复合命题。设p：他们明天去百货公司；q：他们后天去百货公司。命题符号化为 ⑵是疑问句，所以不是命题。 ⑶是悖论，所以不是命题。 ⑷是原子命题。

⑸是复合命题。设p：王海在学习；q：李春在学习。命题符号化为p?q。 ⑹是复合命题。设p：你努力学习；q：你一定能取得优异成绩。p?q。 ⑺不是命题。 ⑻不是命题

⑼。是复合命题。设p：王海是女孩子。命题符号化为：?p。 3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。

⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。

⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。

4．解 ⑴?p?(q?r)。⑵p?q。⑶q?p。⑷q ? p。 习题1.2

1．解 ⑴是1层公式。 ⑵不是公式。 ⑶一层： p?q，?p

二层：?p?q

所以，(p?q)?(?p?q)是3层公式。 ⑷不是公式。

⑸(p?q)??(?q?( q??r))是5层公式，这是因为 一层：p?q，?q，?r 二层：q??r 三层：?q?( q??r) 四层：?(?q?( q??r))

2．解 ⑴A=(p?q)?q是2层公式。真值表如表2-1所示：

表2-1

p 0 0 1 1 ⑵A?q 0 1 0 1 p?q。

p?q 0 1 1 1 A 0 1 0 1 q?(p?q)?p是3层公式。真值表如表2-2所示：

表2-2

p 0 0 1 1 ⑶A?q 0 1 0 1 p?q 1 1 0 1 q?(p?q) 0 1 0 1 A 1 0 1 1 (p?q?r)?(p?q)是3层公式。真值表如表2-3所示：

表2-3

p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p?q 0 0 0 0 0 0 1 1 p?q?r 0 0 0 0 0 0 0 1 p?q 0 0 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 ⑷

A?(p?q)?(?p?r)?(q?r)是4层公式。真值表如表2-4所示：

p真值表如表2-5所示：

表2-5

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 3．解 ⑴A?(?p??q)??p 1 1 0 0 ?q 1 0 1 0 ?p??q 1 0 0 0 A 1 0 1 1

所以其成真赋值为：00，10，11；其成假赋值为01。 ⑵A?r?(p?q)真值表如表2-6所示：

表2-6

p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p?q 0 0 0 0 0 0 1 1 A 1 0 1 0 1 0 1 1 所以其成真赋值为：000，010，100，110，111；其成假赋值为001，011，101。

⑶

A?(p?q)?(p??q)真值表如表2-7所示，所以其成真赋值为：00，11；成假赋值为：

01，10，。

4．解 ⑴设A?p??(p?q)，其真值表如表2-8所示：

表2-8

p 0 0 1 1 故

q 0 1 0 1 p?q 0 0 0 1 ?(p?q) 1 1 1 0 A 1 1 1 1 A?p??(p?q)为重言式。

⑵设A=(p?q)??(p?q)，其真值表如表2-9所示：

表2-9

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p?q 0 0 0 1 p?q 0 1 1 1 ?(p?q) 1 0 0 0 A 0 0 0 0 故A=(p?q)??(p?q)为矛盾式。

⑶设A=(p?q)?(?p?q)，其真值表如表2-10所示：

表2-10

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ?p 1 1 0 0 ?p?q 0 1 1 0 p?q 1 1 0 1 A 0 1 0 0 故A=(p?q)?(?p?q)为可满足式。 ⑷设A?((p?q)?(q?r))?(p?r)，其真值表如表2-11所示：

表2-11

p 0 0 0 0 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 r 0 1 0 1 0 1 0 p?q 1 1 1 1 0 0 1 q?r (p?q)?(q?r) p?r 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 A 1 1 1 1 1 1 1 1 故

1 1 1 1 1 1 1 A?((p?q)?(q?r))?(p?r)为重言式。

习题1.3

1．解 ⑴真值表如表2-12所示：

表2-12

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ?p 1 1 0 0 ?q 1 0 1 0 ?p??q 1 0 0 0 p?q 0 1 1 1 ?(p?q) 1 0 0 0 由真值表可以看出?(p?q)和?p??q所在的列相应填入值相同，故等值。 ⑵真值表如表2-13所示：

表2-13

p 0 0 1 1 由真值表可以看出

q 0 1 0 1 ?q 1 0 1 0 p?q 0 0 0 1 p??q 0 0 1 0 (p?q)?(p??q) 0 0 1 1 p和(p?q)?(p??q)所在的列相应填入值相同，故等值。

表2-14

⑶真值表如表2-14所示：

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ?p 1 1 0 0 ?q 1 0 1 0 p?q p??q 1 1 0 1 1 1 1 0 (p?q)?(p??q) 1 1 0 0 由真值表可以看出?p和(p?q)?(p??q)所在的列相应填入值相同，故等值。

⑷真值表如表2-15所示：

p 0 0 0 0 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 r 0 1 0 1 0 1 0 q?r 1 1 0 1 1 1 0 p?(q?r) 1 1 1 1 1 1 0 p?q 0 0 0 0 0 0 1 (p?q)?r 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 表2-15

由真值表可以看出p?(q?r)和(p?q)?r所在的列相应填入值相同，故等值。

2．证明 ⑴(p?q)?? (?p?q)? (p?q)?( p??q) ? p? (q??q)? p。

⑵(p?q)?(q?p)?(?p?q) ?(?q?p) ?(?p??q)?(?p? p)?( q??q)?(q? p) ?( p?q)?(?p??q)。

⑶由⑵可得，?(p?q)??(( p?q)?(?p??q)) ?(? p??q)?(p?q)?(q??p)?(?p?q)??p?q。 ⑷p?(q?r)?? p?(?q? r) ?? q?(?p? r)? q?( p ?r)。 ⑸

p?(q?r)??p?(q?r)

?(?p?q)?r??(p??q)?r ?(p??q)?r

⑹(p?q)?(r?q)?(?p?q)?(?r?q)

?(?p??r)?q?(p?r)?q

3．解 ⑴?(p??q)??(?p??q)?p?q ⑵?(?p??q)??( p??q)??p?q

⑶?(p??q)??((p??q)?(?q?p))??(p??q)??(?q?p)

?(p?q) ?(?p??q)? p?q。 ⑷同理可证?(?p?q)? p?q。 4．解 ⑴与习题2?2第4（4）相同。 ⑵真值表如表2-16所示：

表2-16

p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ?p 1 1 0 0 ?q 1 0 1 0 p?q 1 1 0 1 ?q ??p 1 1 0 1 A 1 1 1 1 所以公式是重言式。

⑶真值表如表2-17所示，所以公式是矛盾式。

表2-17

p 0 0 1 q 0 1 0 ?p 1 1 0 ?q 1 0 1 ?p?q 1 1 0 p??q 0 0 1 A 0 0 0