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2.2.2椭圆的简单几何性质（一）

教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析

教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计： 【复习引入】

1. 椭圆的定义是什么？ 2. 椭圆的标准方程是什么？ 【讲授新课】

利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x轴上椭圆为例

x2y2?2?1(a＞b＞0)． 2ab1．范围

x2y2椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式2?1,2?1,即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．

ab椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里． 2．对称性

在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时， 方程有变化吗？这说明什么？

椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的． 坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心． 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点

只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0， 得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． ybB2A1-aF1O-bB1F2A2axy珍贵文档

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线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的 长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长． |B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． 在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2， 即c2＝a2－b2． 小 结 ：

由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较 正确的图形. 4．离心率

椭圆的焦距与长轴长的比e?c，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． ay(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b?a2?c2越小，因此椭圆越扁；(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，

因此椭圆越接近于圆；

Ox(3)当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为 x2?y2?a2.

练习 教科书P.41练习第5题．

例1 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用 描点法画出它的图形．

x2y2解：把已知方程化成标准方程2?2?1,这里a＝5，b＝4，所以c?25?16?3.

54椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e?c. a焦点为F1(－3, 0)、F2(3, 0)，顶点是A1(?5,0)、A2(5,0)，B1(0,?4)、B2(0,4)．

x2y2把已知方程化成标准方程2?2?1,

54在0?x?5的范围内算出几个点的坐标(x,y):

A1yB2F2A2F1OB1x珍贵文档

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x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆． 椭圆的简单作法:

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2); (2)长轴的长等于20，离心率等于3. 5解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点. 即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得a＝3，b＝2.

x2y2又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程是??1.

94 (2) 由已知，2a＝20 ，e?c3?,∴a＝10 ，c＝6. ∴b2＝102－62＝64. a5∵椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上, x2y2∴所求椭圆的标准方程为??1或10064y2x2??1. 10064练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.

x2y2解：若焦点在x轴上，设椭圆方程为:2?2?1(a?b?0)，

ab?a?2b?a?25?依题意有?16 得 得：1???1?b?5??a2b2x2y2??1. 故椭圆方程为205若焦点在y轴上， 同理求得椭圆方程为：珍贵文档