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2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、函数f?x?对于任意实数x满足：f?x?3???【 】
1，若f(则f(0)?2，2013)f?x??
11 A、? B、 C、2 D、2013
222、设等差数列?an?与等比数列?bn?满足：0?a1?b1?a5?b5，则下述四个结论：
① a3?b3 ； ②a3?b3； ③a6?b6； ④a6?b6中正确的个数是 【 】 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3、已知二面角??l??的平面角为?，PA??，PB??，A、B为垂足，PA=5，PB=4，设A、B到二面角的棱l的距离分别为x、y，当?变化时，点(x,y)的轨迹为下列图形中的 【 】
A、 B、 C、 D、
4、从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y，则使得|x?5|?|y?3|?4的概率是 【 】
1131 A、 B、 C、 D、
5324 5、当平面上的点(x,y)的坐标x、y都为有理数时，该点称为有理点，设r是给定的正实数，则圆(x?1)2?(y?2)2?r2上的有理点 【 】
A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个 6、△ABC中，?C?90，?B?30,AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM翻折，使A、B两点间的距离为22，则三棱锥A?BCM的体积等于 【 】
A、
22 B、
33 C、6 3 D、
22 3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
3?x)?m，，记f(1)?f(2)?f(4)???f(10241?x1111f()?f()?f()???f()?n，则m?n? ． 248102423420138、已知i是虚数单位， z?1?i?i?i?i??i，把复数z的共轭复数记为z，则z?z= ．
y22?1，则x2?y2的最大值是 ． 9、实数x,y满足x?164210、关于曲线C：x?y?1的下列命题：
7、已知函数f(x)?① 曲线C关于原点对称； ② 曲线C关于直线y=x对称； ③ 曲线C所围成的面积小于?； ④ 曲线C所围成的面积大于?， 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
1111、设n是小于100的正整数，且满足(n2?1)?n为整数，则符合条件的所有正整数n的
35
1
和为 ． 12、已知函数f(x)?a?x，对任意x?(0,1)，有f(x)?f(1?x)?1恒成立，则实数a的取xπ2值范围是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
213、设实数??0，已知函数f(x)?sin?x?3sin?x?sin(?x?)的最小正周期是
πππ．求f(x)在[,]上的最大值与最小值． 284
x3?3x*14、已知函数f(x)?，数列满足：，{x}x?2x?f(x)(n?N)，记n1n?1n23x?1xn?1?1 bn?log()(n?N*)． 3xn?1?1( I ) 求证：数列{bn}成等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（II）记cn??nbn(n?N*)，求数列{cn}的前n项和公式Tn．
x215、已知点B(0,1)，P、Q为椭圆+y2=1上异于点B的任意两点，且BP?BQ．
4（I）若点B在线段PQ上的射影为点M，求M的轨迹方程； （II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．
16、若实数x0满足f(x0)?x0，则称x?x0为f(x)的不动点．已知函数
f(x)?x3?ax2?bx?3，其中a,b为常数．
（Ｉ）若a?0，求函数f(x)的单调递增区间；
（II）若a?0时，存在一个实数x0，使得x?x0既是f(x)的不动点，又是f(x)的极值 点．求实数b的值；
（III）求证：不存在实数组(a,b)，使得f(x)互异的两个极值点皆为不动点．
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2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
91 10、①④ 11、635 12、{a|a?1或a??} 44三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 7、42 8、2 9、
13、已知函数f(x)?sin?x?3sin?x?sin(?x?)求f(x)在[,]上的最大值与最小值．
2π2(??0)的最小正周期是
π． 2ππ84 解：f(x)?1?cos2?x3311?sin2?x?sin2?x?cos2?x?
22222?1?sin(2?x?)?， （5分）
622???，则??2． 由条件知T?2?2?1于是f(x)?sin(4x?)?， （10分）
62????5? 当?x?时，?4x??，
843661??13故?sin(4x?)?1，即1?sin(4x?)??． （15分） 26622?3? 所以，f(x)在x?时取最大值，在x?时取最小值是1． （20分）
624x3?3x14、已知函数f(x)?，数列{xn}满足：x1?2，xn?1?f(xn)(n?N*).， 23x?1记bn?log3(xn?1?1) (n?N*)．
xn?1?1( I ) 求证：数列{bn}成等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （II）记cn??nbn(n?N)，求数列{cn}的前n项和公式Tn．
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