内容发布更新时间 : 2025/10/31 19:24:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

(x?a)2?(y?b)2?r ①

化简可得：(x?a)?(y?b)?r ②

62224A2M-55-2-4 引导学生自己证明(x?a)?(y?b)?r为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

2223、知识使用和解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,?3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?5,?1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)和圆(x?a)?(y?b)?r的关系的判断方法：

222（1）(x0?a)?(y0?b)>r，点在圆外 222（2）(x0?a)?(y0?b)=r，点在圆上 222（3）(x0?a)?(y0?b)

222

例（2）：

ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),求它的外接圆的方程

222师生共同分析：从圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r 可知，要确定圆的标准方

程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C的圆l:x?y?1?0经过点A(1,1)和B(2,?2),且圆心在l:x?y?1?0上,求圆心为C的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置和半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2),由于圆心C和A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l和直线m的交点，半径长等于CA或CB。 （教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的

标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

练习：课本p127第1、3、4题 提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点和圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本p130习题4.1第2、3、4题

4.1.2圆的一般方程

三维目标：

知识和技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方

程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方

程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程和方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发

现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归和转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励

学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程和标准方程间的互化，根据

已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

王新敞教 具：多媒体、实物投影仪 王新敞教学过程：

课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：

请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．

把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

取D??2a,E??2b,F?a?b?r得

222x2?y2?Dx?Ey?F?0 ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)? ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不

224是表示圆？

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示以（-径的圆；

（2）当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??点（-DE，-）; 2222DE1D2?E2?4F为半，-）为圆心,

22222DE，y??，即只表示一个22（3）当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞综上所述，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆 22王新敞只有当D?E?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如

22x2?y2?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为圆的一般方程

王新敞我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系

数，圆的方程就确定了．

(3)、和圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标和半径大小，几何特征较明显。 知识使用和解题研究：

例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0 22?2?4x?4y?4x?12y?11?0学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0来说，这里的

9D??1,E?3,F?而不是D=-4,E=12,F=9.

4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而

条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0

22，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上∵A(0,0),B(11面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0 王新敞∴所求圆的方程为：x?y?8x?6y?0 22王新敞r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3 222王新敞得圆心坐标为（4，-3）.

22或将x?y?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)?(y?3)?25,从

22而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、根据提议，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

王新敞例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，

22求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程

?x?1?2?y2?4。建立点M和点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条

件，求出点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是

3?且M是线段AB的重点，所以?x0,y0?.由于点B的坐标是?4，x?x0?4y?3,y?0, ① 22于是有x0?2x?4,y0?2y?3因为点A在圆?x?1??y2?4上运动，所以点A的坐标满足方程?x?1??y2?4,

即?x0?1??y0?42222

?x0?1?2?y02?4 ②