内容发布更新时间 : 2024/6/3 17:02:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

泛函分析复习提要

一、填空

1. 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，如果 ，则称集M在集E中稠密。如果X有一个可数的稠密子集，则称X是 空间。

2. 设X是度量空间， M是X中子集，若 ，则称M是第一纲集。

*?Tx3. 设T为复Hilbert空间X上的有界线性算子，若对任何x?X，有Tx，

则T 为 算子。

( Hilbert空间H上的有界线性算子T是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert空间X上有界线性算子T满足对一切x?X，?Tx,x?是实数，则

T为 算子。

( Hilbert空间H上的有界线性算子T是自伴算子的充要条件是 。)

5.设X是赋范线性空间，X?是X的共轭空间，泛函列fn?X?(n?1,2,?)，如果存在f?X?，使得对任意的x?X，都有 ，则称{fn}弱*收敛于f。 6. 设X,Y是赋范线性空间，Tn?B(X,Y)，n?1,2,?，若存在T?B(X,Y)使得对任意的x?X，有 ，则称?Tn?强收敛于T。

7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子T的范数T? 9. 设X是内积空间，则称 是由内积导出的范数。

10.设X是赋范空间，X的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y是Hilbert空间的闭子空间，则Y与Y??满足 。 12.设X是赋范空间，T:D(T)?X?X的线性算子，当T满足 时，则T是闭算子。

二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz）定理；

2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；

3. 一致有界性定理（共鸣定理）； 4. 逆算子定理； 5. 闭图像定理

6. Banach压缩映象原理 7. 内积空间 8. 赋范线性空间

三、判断题

1. 距离空间中的收敛点列必是柯西点列.

2. 距离空间中两个不相交的闭集的距离一定大于零. 3. 柯西点列是有界点列.

4.赋范线性空间上的范数一定可以由内积导出.

5.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子,若T的零空间是闭集,则T一定有界.

6.赋范线性空间的共轭空间是Banach空间.

7.Hilbert空间中任一非空子集的正交补必是闭线性子空间. 8.在赋范线性空间中，弱收敛的点列必定强收敛. 9.任一非零Hilbert空间都有完全规范正交系. 10. 疏朗集没有内点.

11.赋范线性空间上的连续线性泛函一定有界. 12. Hilbert空间上的自伴算子必为正常算子. 13. 度量空间中的单点集是疏朗集.

四、证明题

1. Hilbert空间X中的正交投影算子为有界线性算子。

2．设H是内积空间，xn,x,yn,y?H，则当xn?x,yn?y时，xn,yn?x,y，

即内积关于两变元连续。

3.证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。

4．证明||x||?maxx(t)为C[a,b]上范数，并论述证明范数的一般步骤

t?[a,b]5．若(X,?)是度量空间，则d??1??也使X成为度量空间。

6.设X是赋范线性空间，证明当Y是Banach空间，B(X,Y)也是Banach空间。 7.设X是Banach空间，{An}，{Bn}是X上的两列有界线性算子，设{An}和{Bn} 分别强收敛于A和B，求证{AnBn}强收敛于AB。 8.若H是Hilbert空间，M是H的线性子空间，则： 1）M??M； 2）M?(M?)?

9.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上的连续算子。

10. 求证：P是Hilbert空间X上的投影算子的充要条件是P2?P且P*?P。 11.设T为定义在复Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数?0?0使

??Tx,x???0?x,x?，证明此算子必有有界逆算子T?1且T?1?1?0。

12.设A与B是定义在Hilbert空间H上的两个线性算子, 如果对任意x,y?H 有 ?Ax,y???x,By?, 则A为有界算子且B?A*.